1樓：鹽選推薦
薛丁格的方程到底是什麼呢？
首先，對於薛丁格來說，乙個粒子的波，其實對應一種狀態。在牛頓的力學世界，乙個粒子在乙個時刻的狀態，可以用這個粒子的位置和速度來描寫。等價地說，可以用它的位置和動量來描寫，這符合我們的直觀經驗。
對於薛丁格來說，乙個粒子在某個時刻的狀態，是用一組複數來描寫。為什麼是一組呢？這就像電磁場，電磁場是分布在空間上的，不同空間點上面的電磁場不同。
現在，對於乙個粒子來說，德布羅意的波告訴我們，在乙個時刻，有乙個波，也是在空間上分布的。這個波其實是複數，不同空間點上覆數不同。這就像我們描寫水面上的水波，不同水面上的點，波的高度不同。
不同於水波的高度，粒子波是乙個複數，這是乙個基本假設。
在任何乙個時刻，這組複數給定了，粒子的狀態就被決定了。薛丁格當時的問題是，如何決定這組複數？
在牛頓力學裡，粒子在乙個時刻的狀態就是這個粒子的位置和速度。牛頓第二定律其實是將粒子的下乙個時刻的狀態與上乙個時刻的狀態聯絡起來。薛丁格所做的，也是將粒子在下一時刻的波與上一時刻的波聯絡起來。
他按照這個思路寫下的方程，就是波動隨著時間變化的方程。薛丁格說，除了這個方程，我們不需要更多的方程了。
薛丁格寫下乙個方程，本身是乙個思維跳躍的過程，因為在他之前，並沒有人能夠寫下類似的方程。但這還不夠，關鍵是，怎麼知道這個方程是正確的？
2樓：王澤程
前面的答案好厲害好厲害，不過我想說只有：
用薛丁格方程算出來的答案是對的，但是，沒有人知道為什麼它是對的
就是這樣，喵奧
還有，專業人士不是不懂，只是不懂怎麼和你解釋
3樓：
我給個科普版的回答。
首先專業人士不會有不懂的，薛丁格方程對於專業人士來說是本科低年級的必修內容，都混到專業水平了肯定懂。
薛丁格方程的最「大眾化」的版本就是裡面有波函式的乙個方程，是薛丁格猜出來的，他當時思考的是把粒子的運動看作波函式，粒子的機率可以通過解方程解出。還有一點值得一提的是，薛丁格方程是不符合狹義相對論的修正的，包含狹義相對論效應的方程在幾年後有提出。至於薛丁格方程的物理概念，別的回答有很詳細。
4樓：李子豪
薛丁格方程相當於經典力學裡的牛頓第二定律，量子力學裡粒子的狀態是由波函式描述的，薛丁格方程一邊是時間的一階導數，這就是說你只要知道了乙個時刻粒子的波函式，就可以算出它的時間導數，有了時間導數，就可以知道這個時刻之後的波函式
5樓：
一. 麼正演化, 繪景和正則方程
其實薛丁格方程說了一件很簡單的事情, 就是麼正演化算符是薛丁格方程的解:
, 這樣的話對於一般情況下的不含時哈密頓量來說, , 則在薛丁格繪景下的態向量的演化為. 不含時算符就沒有演化. 同時對於態向量來說也滿足薛丁格方程:
從海森堡繪景來看, 量子態的向量是不演化的, 但是不含時算符是有演化的:, 同時算符的本徵態滿足「 反薛丁格」方程:
對於海森堡繪景, 可以寫出乙個非常漂亮的表示式:
相應的經典力學中有哈密頓正則方程
這表明經典力學的泊松括號對應著量子力學的對易算符.
總而言之, 薛丁格方程描述的是含時演化.
考慮座標表象下的量子態, 就是波函式:, 相應的薛丁格方程中的哈密頓量也可以換成座標表象下的形式:
二. WKB 近似, Hamilton - Jacobi 方程和作用量
如果從 WKB 近似(就是所謂半經典近似)的角度來看, 薛丁格方程中的波函式(的相位)的經典極限是經典哈密頓作用量, 也就是經典拉格朗日量對時間的積分.
考慮波函式相位按照展開, 不妨設:
將上述 WKB 波函式代入薛丁格方程, 得到:
這樣再將展開的相位函式代入上式, 按照的冪次得到一階近似相位解為:
這樣考慮了含時薛丁格方程波函式的相位為:
熟悉經典力學的朋友應該很容易看出來這就是經典力學中的作用量:
如果再往後考慮一項的話, 就會產生波函式振幅的變化了.
哈密頓雅可比方程
可以看成薛丁格方程的一種經典近似.
三. 路徑積分與作用量
此外還可以從路徑積分的角度體會經典力學和量子力學的關係.
接著從波函式的角度考慮問題. 如果在初始時有波函式, 已知哈密頓量, 如何解出系統在任意時刻的波函式? 可以將波函式在哈密頓量本徵態上分解, 然後再用麼正演化:
則顯然式中出現了乙個因子正好表示了波函式如何演化:
這就是所謂薛丁格方程的傳播子. 在海森堡繪景下也可以緊湊的寫成:
事實上, 經過比較繁複的計算可以證明, 傳播子可以寫成如下的形式:
一般可以簡寫成:
這個式子也被稱為路徑積分, 將經典拉格朗日量, 經典作用量和量子力學聯絡了起來.
REF:
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics
D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics
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