1樓：
1）如果只是比較兩個系統的eigenstates的話，
只不過是把那個標誌區間的引數從a變成2a，其他沒有什麼變化。
不過這個應該不是題主問題的原意吧，因為後面有變化快慢的問題
2）如果是考慮時間演化的問題，會比較麻煩。是乙個含時Hamiltonian，這樣的系統一般沒有解析解。（time dependent Hamiltonian而且有解析結果的，這麼多年，我只記得Shankar上的一道習題：
勻速轉動的磁場中的spin）
但是兩個極限情形：很快和很慢是兩個well-discussed的情況。
2.1) 如果是很快的情形，叫做Quantum Quench。
在變換之後的態和變換之前的態相同
= |\psi_>" eeimg="1"/>
(之前沒有在知乎差如果公式，誰能告訴我怎麼輸入\ket?這個用|和》拼出來的看著好醜～～)
可以理解為，我們的量子態沒有足夠的時間體驗系統Hamiltonian的變化，以至於沒有足夠的時間發生能級的躍遷
2.2)如果是很慢的情形，叫做Adiabatic Evolution
特性是：如果initial state 處於 nth eigenstate, 那麼在Adiabatic evolution的過程中，任何時刻系統都是出於當時Hamiltonian的nth eigenstate (instantaneous eigenstate)。
也就是說，如果
= |n(t=0)>" eeimg="1"/>
那麼 = |n(t)>" eeimg="1"/>
其中|n(t)> 是H(t) 的nth instantaneous eigenstate
不過如果initial state是superposition of several eigenstates, 會比較麻煩，應該不同的state有不同的dynamic phase。所以沒有那麼直觀，不過也不是那麼複雜。 nth eigenstate 的phase應該是
也就是說，如果
= \sum_n c_n |n(t=0)>" eeimg="1"/>
那麼 = \sum_n c_n e^ |n(t)>" eeimg="1"/>
2.3) 如果變化速度不快不慢。應該可以通過數值辦法解決。
對於時刻t，波函式為 " eeimg="1"/>,總能寫成時刻t的instantaneous eigenstates 的superposition的形式
= \sum_n c_n(t) |n(t)>" eeimg="1"/>
把這樣的波函式帶入到含時Schrodinger Equation裡
= H(t) |\psi(t)>" eeimg="1"/>
我們可以把這樣的乙個方程的兩側project到m-th instantaneous eigenstate |m(t)>
就得到了關於的一階微分方程組。
的初始條件可以由給定的初態得到
= \sum_n c_n(t=0) |n(t=0)>" eeimg="1"/>
我不想寫太多細節了，但是有兩個關係可以使用
= E_n(t)|n(t)>" eeimg="1"/>
= \delta_" eeimg="1"/>(注意，一定要是同一時刻的instantaneous eigenstates)
然後有很多的辦法可以數值的解一階微分方程組，比如Runge-Kutta Method
PS，當然，如果想要簡化計算，還可以加一變數代換
把dynamic phase專門提出來，可以使得那個一階方程組的形式簡單一些。
PS2，當然也有其他的辦法解決這個含時Hamiltonian的辦法，比如直接考慮時間演化算符
= e^ |\psi(t)>" eeimg="1"/>
然後用一些方法把時間演化算符展開成多項式的形式 （i.e. Chebyshev Polynomial）
2樓：
邊界突然變化的時候，波函式不變，但是對應的本徵能態發生變化，本徵能級隨之變化。初始處於每個能級的概率分布和瞬間移動邊界後不一樣。假如說初始時處於第n個本徵態，邊界瞬間變化後，系統不再處於這個本徵態，而是處於各個新的邊界之下的新的一組本徵態的疊加態，即以新的基展開，展開係數的模平方就是躍遷概率。
用形象的方式直觀地想：波函式是機率幅，它可以確定乙個粒子在這個空間位置的概率密度。粒子的空間概率密度是定域的，不可能瞬間變化，對應於乙個粒子無法瞬間移動。
如果與之直接相關的波函式瞬間發生了變化，那麼概率密度也會瞬間變化，所以矛盾。所以波函式不可能瞬間變化。
邊界緩慢變化的情況，或者更準確一點：準靜態地變化。這就是量子絕熱定理所描述的情況。
即波函式隨著邊界緩慢地變化，若系統初態處於第n個本徵能級的概率為Pn，則在變化過程中，處於當前邊界所對應的第N個本徵能級的概率也為Pn，從始至終都不變。只是各個能級的大小同時發生變化。
叫做「量子絕熱定理」是很妙的，因為量子裡的熱和功是可以這麼定義的：
.這麼定義還有個好處，即可以寫出量子情形的熱力學第一定律：
同時，它還與量子情形的各種漲落定理相容。
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