1樓：薛丁格的月亮
由於dy/dx＝tan α
ds＝((dx)^2+(dy)^2)^(1/2)於是κ＝|dα/ds|
＝|(darctan(dy/dx)/dx)/(ds/dx)|＝|((d(dy/dx)/dx)/(1+(dy/dx)^2))/(1+(dy/dx)^2)^(1/2)|
＝|y''|/(1+(y')^2)^(3/2)
2樓：TravorLZH
現在考慮二維情況，即 ，則有：
根據 有 ，於是：
為了方便後續的書寫，定義 則有：
再根據曲率的定義，可得：
然而以上的公式僅僅適用於二維情況。因此我們需要找到乙個更通用的曲率公式。現在設 為某引數曲線，定義其單位切向量 ，則根據幾何直覺，有
代回曲率半徑的定義式，得：
根據 ，有 。這意味著單位切向量和它的導向量正交。因此兩者的叉積為 。根據 有 ，因此：
3樓：蘇劍林
所謂曲率，就是用圓逼近曲線（區域性）時的圓半徑倒數。我們可以換個物理的想法，設曲線的引數方程為 ，把引數 看成時間，某個瞬間我們將它看成是勻速圓周運動，求圓的半徑倒數。這可以在幾行之內把它推導出來，這可能是最簡單的推導了。
對於圓周運動，我們有 （高中物理），所以 ，現在還缺個 。這個 不能直接取 ，因為在勻速圓周運動時，加速度方向是垂直於速度方向的，所以我們實際上是要 在 的垂直方向的投影，即 ，這裡的 是 與 的夾角。很巧妙，在2、3維空間中，這又可以用叉積來表示（內積是 ，叉積是 ），即 。
所以，綜合起來就是 。
kexue.fm/archives/714
4樓：mcxzx
我再來寫個任意帶度規流形 上的曲線曲率推導吧（氵氵氵）
（需要懂得一些張量的知識）
首先該量需要滿足規範不變性（曲線重引數化後不變），以及可退化性（對於圓則可以變為其半徑的倒數）。而且能夠反映其「彎曲」性
我更喜歡從構造的方式來匯出。最後只要證明它和一般定義等價就行了。
首先引進曲率向量 的概念： ，曲率乘主法向。主法向相對而言容易得到些：
有曲線 以及其切矢： (其中 為曲線在當前某座標系的引數式)，我們只要讓切矢長度為1，那麼對它求導得到的向量必然就與其正交，否則將會增加或減少歸一化切矢的長度。而這個求導得向量方向就是其主法向方向，因為對切矢的求導必然得出密切平面上的向量，既是密切平面向量，又與切矢正交，只能是主法向方向。
也即是說： ，其中 代表切矢長，即
現在方向確定了不會隨引數選擇而變化，但是其大小仍然會變。局域重引數化曲線： ，那麼
又由於 ( 為度規適配導數算符滿足無撓且 )
可得 。
不過如果我們再給它乘上乙個因子： ，那麼它也就不會再隨規範而變了。
於是我們得到了構造出的「曲率向量」
接下來我們可以求其具體形式：
令 ，那麼：
令 代表單位切矢（對不起我引入晚了，忍受吧\^_^/），那麼就可以把曲率向量寫為：
，整理一下，還可以寫成：
看出來是什麼了嗎？就是。。。投影對映 ，投影到與切矢正交的超平面上。當然就與切矢正交。（看起來一點也不意外，真的）
我們也可以重引數化曲線：
那麼 ( )， ( )
於是 (注意 )
規範不變也被證明了。（也完全一點都不意外，是吧）
至於曲率這個標量，就是曲率向量自我內積的二次根號(加絕對值，不過度規正定就不加了，但是Keep that in mind)：
於是曲率 (其中 )
最後證明它和定義是一樣的：
當曲線上一點沿著曲線以單位速率運動時，過這一點處的切線的方向在轉動。曲線彎曲程度越高，切線旋轉得越快。設曲線 的引數方程為 ，其中s是弧長引數。
則 是單位切向量。設切向量 與 的夾角為 ，則曲率
也就是說當取引數為弧長時， ，而此時 ， ，因此我們也可以化簡之前寫的曲率： （度規正定的情況下，絕對值不用加）是一樣的，我們就可以放心使用新的曲率公式了：
， 此外，我們還可以用楔積來再次簡化式子。
我們看到： ，展開並且並加乘一項
，我們可以給內部乘上切矢的自我內積去掉切矢上的帽子：
注意到 ，因此 。又由於反對稱對被縮並指標有傳遞性，因此
我定義某2-形式 的模 為 (這是私貨，不過它展開後其實和行列式有一點相似。在三維就是2-形式對偶形式這個對偶向量的長度)
那麼可得 ，自然
小破乎的公式又雙叒叕Bug了，不過這裡看起來卻不可思議地通順：
( )好吧，我也沒話說了。完結撒花
5樓：東雲正樹
我就把我見過的最簡單清晰好記的推導方法給出來吧, 這個方法應該不是我當年看的教科書上的, 具體我在哪看到的我也不記得了. 總之你 @解題的藝術 會看到微分運算的用途是很大的, 關於微積分你可以就按照我下面那些感性的理解先用著, 以後會學到嚴謹的極限定義的. 然而實際上再往後的生活中好像也沒誰會去那麼強調極限定義了, 知道是那麼回事就行了.
下面的推導中我應該沒有跳過任何哪怕是運算上的步驟, 如果你覺得這個內容仍然有一定的挑戰性也是正常的, 畢竟我中學的時候應該完全看不懂這些；如果你覺得這個推導過於細緻了也是正常的, 因為這確實只是一些完全沒有思維量的簡單玩意兒.
對於一條曲線我們可以研究其曲率, 也即彎曲程度. 直觀來想, 以一條連續光滑曲線上無限接近的兩個點為端點的一段弧總應該可以看作是某圓上的一段弧.而這個圓的半徑就被定義為曲線在這一點的曲率半徑.
而曲率則被定義為曲率半徑的倒數.
至於說為何總可以看作是某圓上的一段弧, 可以簡單的認為是曲率半徑在連續光滑曲線上不會發生突變, 所以在某點的無窮小領域內曲率半徑可以看作是乙個常量.
如何求曲率半徑呢? 我們可以回想第一次接觸弧度制時是怎麼定義弧度的. 弧度是圓弧長與該圓半徑的比值對吧? 既 , 顯然當 既整個圓周長時弧度為 .
那麼顯然曲率半徑很自然的可以定義為 , 既無窮小的一段弧長與其相對應弧度的比值.
知道這些我們就可以計算出任意一條連續光滑曲線 在任意一點的曲率半徑了.
為了能使用最簡單的運算步驟, 我們要先研究乙個幾何關係:
如圖, 既光滑曲線上無限逼近的兩點, 當然我們這裡使用了誇張的表現手法. 其它量如圖標示.
顯然在四邊形 中有倆直角, 所以 則與其對角互補. 所以其對角的補角 .
這下子就好辦了, 一下子我們就有辦法求出 中的 了.
怎麼求呢? 還記得曲線的斜率是啥嗎? 斜率就是其切線在這一點與水平線夾角的正切值, 那麼圖上曲線在 兩點的斜率自然就分別是 與 了.
而我們想要的正是這倆傾斜角的差值即 [1].
那太簡單了, 已知 , 我們對其求微分即得:
.這樣一來就有: .
這個沒什麼說的, 就是對弧長進行微分, 被稱之為弧微分. 硬要說一下的話就是用線段 來代替弧 , 因為當這倆點無限趨近的時候, 它們基本上就沒啥區別了, 也就是取一階近似或者說線性近似的意思.
設 , 線段 的長度很好算的, 勾股定理罷了:
加乙個絕對值, 因為呃... 反正曲率半徑就是被定義是乙個正數, 暫且沒啥必要牽扯到負數.
. 而曲率就是曲率半徑求乙個倒數, 即 .
6樓：Nick
蹭個讚好了。。。平面的已經有人做了，那我就來算一下三維下任意引數曲線好了。（其實是今天正好做了一道微分幾何的作業題。。。）
設曲線為 並設曲線的長度變數為 。
定義：曲線單位切向量為 。
由於單位切向量長度為1，因此可知 和 。
根據曲率的定義，可知 ，其中 是曲率， 是單位主法向量，因此注意到 ，其中 表示向量積。令 ，則有
因此，注意到 ，因此可進一步化簡曲率，得
讓我們重寫一遍最重要的結論性公式：
顯然，二維的特殊情況下的對應結論也可以由該公式輕易求得。
另外順手貼上另一道關於撓率的作業題：
求解釋曲線撓率計算公式？
萬有引力公式是怎麼推導的？
已登出 克卜勒定律，行星軌道是橢圓。半長軸的三次方比週期的二次方是定值。中學階段視橢圓為圓 則上述公式為 行星軌道是圓，半徑的三次方與週期的二次方的比值是定值，設定值為K。然後就變成勻圓模型。引力 向心力質量乘角速度的平方乘半徑 角速度等於二 除以週期 代入 引力 向心力等於四 的平方乘質量乘半徑除...
協方差的公式是怎麼推導出來的？
不說話會死先森 首先要弄清楚方差的概念。這是方差 方差描述的是樣本偏離均值的程度。方差是協方差的乙個特例，當樣本從一維變成二維，描述的是兩組樣本各自偏離均值的程度，按照方差的公式，就變成了 樣本減均值，求和，除以樣本數，這不就是期望的求法嗎。所以又可以寫成Cov X,Y E X x Y y 舉個例子...
抽樣分布期望和方差的公式是怎麼推導的
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