1樓：lalalajks
這個是這本書上的方案，不知道有沒有人提，我就斗膽寫一下。
耶魯大學開放課程：基礎物理力學、相對論和熱力學首先，考慮乙個圓周運動的位移函式 。
那麼速度就是位移的導數 。那麼可以知道速度的大小即 。
接下來，我們知道加速度是速度的導數，即 。所以向心加速度的方向是指向圓心的。而且 。正好
2樓：DrZXY
這個剛好是我前兩周解得乙個題，時間有限，我僅列出我個人解題的思路節點，具體計算細節我引用我朋友 @林and1 的過程（因其思路與我大致相同）。
問題：從a到b是思路具有承接性，我將其當作乙個題來處理（為了簡便行文，我省略引數t）：
1、計算切向加速度，其反應的是速度方向速度大小變化的快慢，因此其表示式為：
2、計算法向加速度，其反應的是速度方向的變化快慢，在固定的xy座標系中只能表示為其與固定方向的夾角變化率，這就涉及到兩個角的導數， 和互餘的 .這怎麼回事，需要注意到與切向垂直的方向有兩個： .
但這兩不能隨意搭配，我們注意到法向加速度對速度的「拉動」，應當選擇一對一或者二對二（可以自己畫個圖理解一下）。
3、驗證，將兩者各個分量對應相加會發現剛好是
4、質點進行圓周運動，引數方程可寫作： 代入即可證明
附and1的手寫過程：
3樓：TravorLZH
當物體繞著 進行圓周運動時，有
不妨設 ，則根據尤拉公式有 。求一次導數，得：
取模可得線速度表示式 ，再求一次導，得：
此時取模便得向心加速度 。因此結合線速度的公式，我們就有：
4樓：TravorZXH
這裡提供乙個「取巧」的思考角度。
在此之前，不妨先做一些簡單的鋪墊性工作。
（跳過該部分也可）
[1], s為線長， 為在流形上指定的度規[2]。
原則上， 可以被指定乙個任意的「引數化」，比如恒等對映———相當於取自然引數 。
特別地，三維平直歐式空間中有：，
此時取自然引數並適當選取零點得到：
其中，，此時
下面給出乙個結果：
置為一單參可微實正交矩陣，滿足，則
是反對稱的。
不難看出：
結論顯然成立。
置三維歐式空間中一條平凡光滑曲線，顯然若欲給曲線上每點處指定乙個特殊的座標架使得其三個單位方向向量為 [3]滿足關係： [4]，只需另指定向量 即可。
不難看出：，即向量 滿足正交關係。
乙個自然的選擇是： ，
做一些簡單的估計，不難看出以上對座標架的指定符合我們對曲線曲率的「直觀認識」。
考慮一條性質足夠好的曲線，向量 （下面分別記為 ，並在我們關心的位置選取 ）之間的變換可看作「光滑」的，即 與 間可通過乙個 中的單參可微矩陣 相聯絡: , 顯然 時 退化為 。
由上面的定理不難得到：
其中 為一三階全反對稱矩陣，滿足：
自然地，定義了曲線的所謂「撓率」 [5] 。
職是之故，我們得到了所謂的 公式：
現在回到原來的問題，我們被要求在 標架下給出空間中一粒子運動的加速度。
由 公式：
由於 ,
得粒子運動速度的模：
記： [6]
此時不難得到：
證畢。特別地，若粒子作『平面圓周運動』，使用極座標來考慮問題是一種常規操作。
復平面中圓的方程：
, 由 公式:
此時將和認同為『向心』和『切向』的單位向量，並根據圓周運動『線速度』和『角速度』的關係進行轉化即可得到我們熟知的公式。
5樓：瀋飛
看到有大佬用微分幾何證明，這裡提供一種僅用原始定義和極限運算給出的較為嚴格的證明，適用於質點做一般的三維 曲線運動。
欲證：設質點運動速度向量 對時間 有二階連續的導數，加速度為 ，則質點在時刻運動軌跡的曲率半徑為 將 分解為沿速度方向的 和垂直速度方向的 ，則可得 。
證明：記 ， , ， ，有
其中，並且
回代原式得
因此質點的軌跡切線從 到 方向變化角度為
曲率 從而曲率半徑 ，證畢。
6樓：智商稅
圓周運動的 兩兩垂直，可以只對向量的模長做分析。向心加速度的推導是控制角速度 不變的。將模長化的線速度公式 兩邊對時間求導數，再把線速度公式反覆代入，就可以直接得到
中學物理教學裡面弱化了角速度概念和線速度公式 的向量含義。但是，必須先用向量方法推出線速度公式，學生才敢平移速度向量，加速度公式用相同的方法推出。
假定你支援這個線速度公式，那麼對勻速圓周運動， 是常數，直接兩邊對時間求導數，能得到
這就是向心加速度的公式。在一般運動中，也有向心加速度這個分量，它就是控制 不變得到的。
然後，我們來講叉乘運算的萬惡之源——角度。
數學上學的任意角的定義是說，逆時針旋轉的是正角，順時針旋轉的是負角。右手四指按逆時針旋轉的路徑握起的時候，大拇指的方向是向上的，這才是把逆時針規定為正的本源。把這個概念再做推廣，得到三維空間中平面角向量的定義：
空間一點繞軸旋轉，所經路徑的弧長與點到軸線距離的比值設為平面角向量的大小；
右手四指按此點旋轉的路徑握起時，大拇指的方向設為平面角向量的方向（軸向）。
右手螺旋
根據上述定義的精神，以轉動平面與軸線的交點為原點，量度位置 ，其方向設為 ，指示著質點的方位。引入叉乘運算，右手螺旋法則從表示旋轉軸向的本義，被抽象並賦予新的含義：確定兩向量叉乘積的方向。
做微旋轉時，以直代曲有 。定義角速度向量是角度向量對時間的導數 ，那麼式 自然成立。兩邊同時右叉乘 ，得到
這就是線速度公式。
對一般的曲線運動，座標原點的選取需使得質點在所考察時間範圍內運動時，速度方向近似的總是垂直於位置向量方向。這時我們是用曲率圓來作為曲線區域性性質的近似，r的大小也就成了曲率半徑。
7樓：羥基氧
很簡單，只要注意到做勻速圓周運動物體的速度 和位矢 永遠保持垂直，那麼該物體的位矢 旋轉的同時，速度 也以相同的角速度 旋轉.
我們知道線速度等於角速度乘運動半徑 ，因為速度 是位矢 的變化率，而加速度 是速度 的變化率，那把上式的線速度 換成加速度 ，運動半徑換成線速度 ，就得到了向心加速度公式：
或者我們來個向量求導的解法：
由於勻速圓周運動角加速度 ，因此
我們也可以來個圓周運動引數方程求導的解法：
我們知道圓周運動的引數方程為，把位矢用基向量寫出來就是：
求兩次導：
因此 ，
8樓：Undefinedctrlsqc
其它答主，標架法，極座標系..略難了。私以為最簡潔的用一點向量微積分就好
其中 為速率， 方向沿著切線方向，所以是單位切向量。
再求一次導數
對勻速圓周運動來說第一項 ，現在考慮第二項的第二個因子：
其中 就是切向量（也是 ）轉過的角度，那麼 就是曲率半徑， 就是單位切向量關於它自身轉過的角度的導數，就是和它垂直的另乙個單位法向量，就指向曲率圓圓心。
代進去算就是
最後乙個括號是單位法向量，分母曲率半徑寫作R，分子ds/dt寫作v，就是
9樓：Reimu Hakurei
為避免記法煩瑣，記 為 。注意到 。
考慮曲率 。
注意到 其實是曲線的單位切向量，因此 。
，因而 。
這就說明 實際上是曲率。
引入曲率半徑 。
這就是一般情形下的推導。
10樓：Tautochrone
本文使用 Zhihu On VSCode 創作並發布
給乙個不太一樣的視角，從數學的角度考慮這個問題。
乙個質點的運動可以描述為一條光滑的引數曲線
其中就是引數時間。這個質點的速度是，加速度是。首先我們著手建立乙個不依賴的基的座標系，即自然座標系或者Frenet標架。
我們考慮一般的曲線運動，也就是與處處線性無關。
速度向量是曲線的乙個切向量，對應方向上的單位向量記為
我們考慮的是曲線本身的幾何性質，所以要找到乙個比時間更好描述曲線運動的引數——弧長。注意到這兩個引數的變換Jacobian
恰好是速率。下面先暫定曲線的引數取為，最後再換回時間。
以為引數能立刻得到乙個有用的結論：注意到是單位向量，長度不變，於是有
也就是與處處正交。
單位切矢沿曲線的變化率可以表徵曲線的彎曲程度，我們定義
稱為曲線的曲率。在方向上的單位向量記為
最後我們定義乙個正交於和的單位向量：
這樣就構成了乙個隨曲線運動的右手單位正交標架，稱為Frenet標架。對應的三個座標軸分別稱為切線，主法線和次法線。
現在我們回到以時間為引數的情況，給出Frenet標架下的運動學方程。
從速度公式
出發，求導得
回到題目中最特殊的情況——勻速圓周運動。首先我們來求圓的曲率。圓關於弧長的引數方程為
單位切矢
曲率即半徑為的圓的曲率是。
對於勻速圓周運動，線速度恆定，於是加速度就是
其中單位向量是時時刻刻指向圓心的（與位置向量方向相反）。
其實上面的推導繞了很大一圈，但是這個方法的好處是能夠推廣到各種各樣的曲線運動。[1]
11樓：烤羚羊
如果碰上的學生不是那麼較真，我個人最喜歡的混法莫過於量綱分析。
如果只考慮向心加速度，物體做的就是勻速圓周運動，只靠速度大小 和圓周半徑 就可以完全描述運動行為了。因為速度具有 的量綱，具有 的量綱，而加速度具有 的量綱。如果假設向心加速度 ，量綱分析將會給出
肉眼觀測就可以得出 ，，只要不去操心可能的數值常數，就可以拍拍腦門寫下向心加速度的公式：
還是嚴謹一點。
現有的答案裡已經有不少提及用向量分析和幾何關係作推導的做法了。這裡再介紹另一種思路，借助點解析幾何和微積分，就可以嚴謹地推導出向心加速度以及切向加速度的公式。
不失普遍性，設物體自 時刻開始從座標 開始作逆時針方向、半徑 為定值的圓周運動。
計物體與原點連線和 軸所成的角度為 ，角速度 ，角加速度 。則物體在任意時刻 的位置可以寫作
一次求導，可以求出速度 的變化函式
注意到括號裡表示的是乙個單位向量，所指的方向正是運動方向的切向。因此括號前面的項即代表速度大小，這個關係式寫出來正是非常眼熟的
繼續求導，可以加速度 。
加速度自動分為了兩個分量。注意到上式第一項括號內依然是切向方向的單位向量，因此第一項的分量代表的是導致速度大小改變的切向加速度 。第二項的括號內是表示沿徑向的單位向量，但是由於前面的負號，因此第二項代表的加速度分量沿半徑指向原點，即為向心加速度 。
如果只關心這兩個加速度分量的大小，我們得到
代入之前的速度大小和角速度大小的關係 ，很容易得到向心加速度另乙個常見的表示式
協方差的公式是怎麼推導出來的？
不說話會死先森 首先要弄清楚方差的概念。這是方差 方差描述的是樣本偏離均值的程度。方差是協方差的乙個特例，當樣本從一維變成二維，描述的是兩組樣本各自偏離均值的程度，按照方差的公式，就變成了 樣本減均值，求和，除以樣本數，這不就是期望的求法嗎。所以又可以寫成Cov X,Y E X x Y y 舉個例子...
樣本方差公式是如何推導出來的？
佔坑。紀念一下我跟我學心理的室友艱難地講懂了這個n 1的問題。懶惰的我居然現在才回答。事情是這樣的，我室友高中學文科，大學學心理，大一學心理統計知道了這個n 1的公式問我這是為什麼，我當時哼哧哼哧半天也沒想出來，一年後又提起這件事，我這回決定怎麼著也要講明白了，於是乎，我先翻出了課本的公式，方便起見...
愛因斯坦場方程是怎麼推導出來的？
趙峰 下面是愛因斯坦對場方程的原始處理，摘錄自愛因斯坦文集卷2。他首先基本根據數學定理和物理考慮得出了真空愛因斯坦方程，然後根據物理考慮，數學變換，能量動量守恆等考慮得出了一般情況的場方程。過程還是很精彩的。 引力邊界 個人觀點。老愛的引力場方程說到底是根據廣相的理論需要構建出來。比如宇宙常數，發現...