1樓：wizardyhnr
主要是域的轉換，簡化運算。以對數為例，通過對數，乘法運算轉化為加法，最後乙個反對數求出答案。傅利葉變換是把卷積轉換為乘法，最後通過反傅利葉變換求出答案。看看卷積公式你就知道它的意義了
2樓：woodman
傅利葉變換是「時域到頻域」的變換這個提法本身就很片面。更準確的理解應該是「乙個space（域）到另乙個space（域）」的變換。傅利葉變換是「時域到頻域」的變換這個提法本身就很片面。
更準確的理解應該是「乙個空間（域）到另乙個空間（域）」的「變換」。也就是說是把乙個函式用另乙個基函式來表達（組合），不僅僅限於時域到頻域。
3樓：徐雙雙
我們大概最習慣的就是XY座標系，然後有乙個函式曲線，類似這樣：
不過有些運動，不僅需要考慮物體的運動曲線，還要考慮物體自身的週期運動，類似這樣：
你會發現，右邊的函式曲線用XY座標系的方式去擬合，非常不優雅。更好的做法是可以同時描述出這多個週期運動，而傅利葉變換就是這樣的，把其中多個週期運動分離出來，每個週期運動單獨一項，最後求和。這才是最貼合這個運動本質的描述方式。
而物理學中，微觀粒子波的特性非常明顯，也就是說，任何微觀粒子本身都有乙個近似週期的運動，那研究其運動方式自然最好就是做傅利葉變換，那麼就可以清晰的表達出其本身的週期運動和外部運動的疊加了。
4樓：
傅利葉變換，表面上是「時域到頻域」的變換，實際上就相當於乙個分解或者換基的操作。簡單解釋成「時域到頻域」至少有兩個問題。首先，儘管時域和頻域的關係很多時候可以比較形象的理解，比如亮度分布和它的空間頻率什麼的（參看下文還要提到的 @Luyao Zou 的第乙個精彩回答：
單個大口徑射電望遠鏡和陣列射電望遠鏡對比有何優劣？ - 知乎 ），但有時他們的關係就不那麼直接（比如量子力學的動量波函式和座標波函式）。其次，這沒解釋為什麼這麼操作一下就可以得到正確結果，往往會讓人覺得「不明覺厲」，彷彿是一種魔法。
但是一旦理解了它是一種分解（或者換基）操作，則只要理解了「基函式」的意義，傅利葉變換就很容易理解（為什麼要做、怎麼做、為什麼這樣做）。分解（或者換基）操作的理解可以很容易地推廣到其它積分變換，比如拉普拉斯變換中去。而如果簡單想象成「時域到頻域」的變換，則拉普拉斯變換的「頻域」的物理意義很難解釋清楚。
下面我們從積分變換的定義出發，具體闡述一下這種思路。
一般說來，積分變換具有以下的形式（參見維基百科）：
其中 就是積分變換的核 (kernel)。這個積分變換的「物理含義」就是， 在核函式的復共軛這一組正交基上的展開係數。為什麼呢？
如果大家學過一點線性代數，就可以發現積分變換具有內積的形式。將 看作引數，如果 和 正交，則積分變換無非是給出了向量 在基函式 上投影/分量的通式。要注意的是，這裡的基函式不是 而是 。
這是因為，內積的結果是乙個「數」而不是向量，所以作為向量的兩個被乘函式必須有乙個要被取復共軛（相當於轉置）。以上推理從內積的狄拉克括號表示的角度看很容易理解： ——左矢括號 自帶轉置效果，要符合原定義則 bra內必須是 。
總結一下，
函式 是向量 在基矢 上的展開係數。
其它任何一組正交函式也可以作為基向量。
向量 在基矢 的展開係數就是積分變換 。也就是說， 是 的另一表示。
由於 和 只是同乙個向量在不同正交基下的「表示」，而且自變數的符號不同，為了方便區分，我們說 是 表象中的表示， 是 表象中的表示。具體的例子比如量子力學裡的位置表象和動量表象。
由薛丁格方程的線性匯出的態疊加原理以及哈密頓算符的厄公尺性。這就使得任何乙個「奇怪」的量子態總能被分解為一系列本徵態的疊加。
含時薛丁格方程的形式解是復指數函式的形式。而復指數函式正好是複數傅利葉變換的核。
任何其他一階偏微分算符的本徵函式也是復指數函式的形式，而一階偏微分算符在量子力學中很常見（比如動量算符）。
所以，量子力學中的傅利葉變換往往就有非常直接的物理意義：將乙個態從非本徵態表示（從而這個算符對應的可觀測物理量一般是隨時間變化的）展開為本徵態（比如含時薛丁格方程的形式解，從而一般也是定態）的表示。以 @Luyao Zou 對 能量-時間的不確定關係如何匯出光譜自然展寬？
的精彩回答為例，對於乙個有限壽命的激發態 ，它的波函式 可以寫成
它的能量隨時間變化，於是這不是「真正」的本徵態（雖然激發態壽命有限在量子場論中是真空能量起伏的鍋，但是在這裡不妨認為是沒到達真正的本徵態）。而能量不變的本徵態的形式，由含時薛丁格方程可知，應為
進一步假設 基本不隨 變化（相對於指數部分來說， 時這似乎很合理。這好像就是旋轉波近似），則 和 都可以忽略掉——只不過最後有個常係數而已，不影響線型（總歸要歸一化嘛）。於是我們就可以以 為基函式展開 ，這樣我們就得到能量表象中的波函式為:
可以看出，上面的展開恰巧就是傅利葉變換的形式。嚴格地說，核函式是 形式的在數學上是「逆傅利葉變換」。但我們統一從核函式的復共軛作為基函式的角度考慮——並且考慮到數學上的傅利葉變換也是對稱的——那麼正、逆只是乙個人為規定的叫法的問題，並沒有本質區別。
實際上，的確有很多量子力學書籍把 形式的變換稱作（正）傅利葉變換，從數學上的「正變換」也是從時域到非時域的角度看，確實也有道理。
最後， 在能量表象中的概率分布也就是光譜線型。同樣不考慮歸一化因子，線型就是：
也就是洛倫茲線型，有的地方又稱之為Breit-Wigner線型。
Bottom Line: 傅利葉變換（不管正、逆）作為積分變換的乙個特例，無非就是求乙個向量在一組正交基函式中的展開係數，或者說乙個向量在一組給定正交基中的表示。不用硬記變換的時候到底是用 還是 ，實際運用時只要記住內積的表示式就好了。
5樓：nolo
自動化專業狗來答，在訊號與處理，數碼訊號系統課上學過各種型別的傅利葉變換，個人認為傅利葉變換是實現訊號處理的基礎，我們在進行語音頻號處理，影象處理等訊號的加工轉換過程中都離不開傅利葉變換。
其實對傅利葉變換最難忘的還是當年訊號與系統考試時被它支配的恐懼
6樓：
請翻開復變函式課本，有乙個空間叫時域f（t），有乙個空間叫頻域F（ω），傅利葉變換可以實現f（t）-> F（ω）的對映。
7樓：墨魚仔
你聽外面的聲音，有汽車駛過的聲音，有樹葉沙沙的聲音，有狗吠的聲音。現在錄一段音，這段聲音是聲波，也就是振動，是有不同頻率的振動組合而成。而傅利葉就可以告訴你這裡面有多少種振動，然後你就可以把他們分解成各種正余弦函式，還可以把這段正余弦函式相加回到原來的錄音，也可以做一些想要的處理，是不是很神奇？
然後開啟高數課本學習傅利葉變換的數學原理吧。
8樓：zsd
舉個栗子
傅利葉變換在音訊分析中的應用你聽到的聲音是很多震動的疊加，而經過傅利葉變換就能清楚地得到各個頻率的分量在很多地方都有廣泛應用
--割一下--
很多答案提到了許多高數書上的公式和推導過程我覺得題主想要了解的可能不是這些，而是想知道這個數學變換在物理上或者工程上的意義所以在這裡直觀的解釋一下：
原函式和它的傅利葉變換是等價的，都可以完整地描述出乙個訊號，並可以互相轉換
在我上面的例子中，人們直接採集到的聲音頻號是波形圖，
你可以根據它的疏密來大致判斷它是乙個高音還是低音，
但是通過傅利葉變換得到頻譜後，就可以清楚直觀地看到這個聲音包含的高頻分量和低頻分量
9樓：路徑積分
能不用公式盡量不用公式。傅利葉變換本質是一種正交變換，把乙個訊號在一組正交基上的座標變換為在另外一組正交基上的座標。為什麼要變換座標呢，因為換完的座標比較容易看出該訊號的一些特徵。
如果還是看不出你想要的特徵，你可以再換一組基，那就再叫另外乙個名字，比如小波變換等等…
10樓：AfterPhilosophy
將時域上的函式轉到頻域上，直觀理解就是三稜鏡色散白光，不同顏色對應不同頻率，不同光強對應不同幅值，彩虹實際上可以看作是對太Sunny作了一次Fourier變換。
函式在時域上越「分散」，頻域上就越「集中」，因此Heisenberg測不准原理也可以用Fourier變換理解。
11樓：dhchen
不謝自來, 原本想自己答的，但是我發現下面「齊民友」的「現代偏微分方程引論」的「前言」中已經說得很好了，這個回答是從「純數學」的角度來回答的傅利葉分析：
12樓：Gavin
沒那麼麻煩的解釋，很簡單，就是一句話：通過傅利葉變換，將時域投射到頻域，從頻域的角度看原先時域的訊號。用一句日常用語來說就是換個角度看問題。
接下來我將舉乙個簡單的例子說明這個問題。
假設現在我們有乙個平面極座標系(ρ,θ)，但是呢有時候我們要求乙個平面圍成的積分用極座標系求起來很麻煩(比如求乙個矩形的面積)，這時候我們可以轉換到直角座標系(x,y )來求就十分簡單。
接下來我們做乙個極座標到平面直角座標系的變換gt; (x,y)
這個箭頭「--->"就是變換，變換為：x = ρ*cosθ , y = ρ*sinθ
現在我們將傅利葉變換與上述的座標變換做模擬：時域 t 相當於極座標系，頻域w相當於直角座標系，「--->」就是傅利葉變換公式。
所以這樣很直觀了吧，本質傅利葉變換的過程跟座標變換過程都是類似的，都是從乙個域通過乙個變換公式變到另乙個域(因為在變換後的域求相關的東西都很方便)，區別只是傅利葉變換的公式複雜了點而已。具體這個變換的數學解釋大家可以在這個問題下很多答案裡有。
13樓：天邊的雲
任意函式可以用一組正弦函式表示，並且這組函式是唯一的。用三角或正方等其他波形也可以實現類似的功能，但變換後得到的一組函式不是唯一的。
各正弦函式之間是正交的，也就是經過變換後沒有遺漏資訊，各函式之間也互不包含。原函式被完美的分割了。
14樓：海南古天樂
人，花，草，小鳥，地球，傅利葉，牛頓每一樣事物都是以波的形式存在，波動是物質存在的唯一形式和表現，生命在於運動，運動是相對靜止事物的內在本質，外表不想幹甚至矛盾相反的兩件事物內部構造是一樣的小波動，你中有我，我中有你，物質越是讓人靜止，道德的波動越是讓人遠離這些因素，喪失了波動則人死亡，其微小的波動以營養的方式被其他波動結合體吸收。
分數階傅利葉變換的物理意義？
下面試著用通俗一點的方式解釋一下，所以在某些概念上並不嚴謹，但是基本原理是正確。假設有一輛在陸地行駛的車輛，有個特殊的里程計每秒可以輸出乙個汽車的實時速度量，但是這個特殊的里程計有個特點，輸出的速度量必須要經過特製的黑箱處理，才能輸出乙個能被人直觀識別的速度量，否則我們是無法直接讀取這種特殊里程計輸...
快速傅利葉變換與傅利葉變換有什麼聯絡嗎？
其實在 電路分析教程 中就有這玩意，傅利葉變換的本質是積分正交，決定了它可以利用函式積分表示乙個函式。而 計算器代數系統的數學原理 中這玩意是用來還原快速多項式乘法中的多項式的係數的，僅僅是相量分析，其實對於一般情況用它求多項式乘法結果一點也不快，需要求值還要插值，而且需要高精度浮點。它的加速原理主...
離散傅利葉變換跟連續傅利葉變換什麼關係，還有離散余弦變換跟離散傅利葉什麼關係？
Tony 我也對這個問題困擾了很久，但是我感覺上面的回答不是令我很滿意。如果你看過訊號與線性系統分析 吳大正第四版 這個書，那麼我下面說的應該很容易理解 我的總結是，時域從連續到離散是通過取樣定理來實現的，但是不要去管取樣之後的傅利葉變換。然後頻域的離散是 DTFT 是乙個週期的連續函式，說明了DT...