1樓：bluain
設關於x的方程組Ax=b，其中係數矩陣
我們先推導一下Jacobi迭代矩陣：
令A=D-L-U
D為A的對角元矩陣
並且假設D非奇異即
-L為A的下三角矩陣
-U為A的上三角矩陣
於是得到Jacobi迭代矩陣
稍作變化可以得到Guass-seidel迭代矩陣：
顯然，若D非奇異，有(D-L)非奇異
於是得到Guass-seidel迭代矩陣
設係數矩陣
由 ，根據無窮範數定義：
再結合(1)式， 都有：
從而A嚴格對角佔優。
再考察Gauss-seidel迭代矩陣
設其特徵值為λ，
即 因此
非奇異,因此：
從而 當 時：由於 嚴格對角佔優，因此 嚴格對角佔優即 嚴格對角佔優
那麼 時，顯然 嚴格對角佔優
易證嚴格對角佔優矩陣的非奇異性
因此 時， ,與(2)式矛盾
所以 即矩陣 的譜半徑
從而Gauss-seidel迭代收斂
補充：嚴格對角佔優矩陣非奇異性的證明：
設 ，A嚴格對角佔優
即 假設A奇異，則 使得
設 考察 的第 個數：
與A嚴格對角佔優矛盾，因此A非奇異
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