1樓：sy sy
並不很熟悉數值代數，試著來強答一下。。
給定階方陣，QR演算法的迭代步驟為
將證明如下的收斂定理：
設的特徵值滿足|\lambda_2|>...>|\lambda_n|>0" eeimg="1"/>，則可對角化，。進一步，假設有LU分解。
則時，對角線下的元素趨於0，對角線元素趨於特徵值。
證明需要以下四個引理。
引理1（Cholesky分解）
正定，當且僅當存在唯一的對角元均正的上三角陣，。
引理2（Cholesky分解的連續性）
Cholesky分解誘導了「正定陣對角元正的上三角陣」的連續對映：。
引理3（QR分解）
可逆，當且僅當存在唯一的酉陣，唯一的對角元正的上三角陣，。
引理4（QR分解的連續性）
QR分解誘導了「可逆陣酉陣對角元正的上三角陣」的連續對映：。
引理1和3是標準的矩陣論結果，證明略掉。如果引理2對，則通過的連續性，可以得到的連續性，從而引理4成立。只需證明引理2：
階數，，連續。
假設連續性在階成立。考慮分塊
對比左右兩邊各分塊，可得
由此可見是的連續函式，由歸納假設是的連續函式，證畢。
收斂定理的證明：
一方面，記。反覆使用QR演算法的迭代公式，可得
另一方面，已知，。通過插入可逆的對角陣，可以使對角元全為1。再令的QR分解為，於是
可逆，令其QR分解為，於是
是上三角陣，通過左乘么模可逆對角陣，可以讓其對角元全為正，因此有
對比兩個分解式，由QR分解的唯一性，有
將其帶入分解式，可得
注意到因此，由QR分解的連續性，我們有
將其帶入分解式，注意到是對角線全1的上三角陣，因此時，對角線下的元素趨於0，對角線元素趨於特徵值，證畢。
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