1樓：窩瓜
設X,Y為拓撲空間，你所說的應該是「對映f:X Y定義為連續對映，當且僅當(iff)對每個X的開集合U, f(U)為Y中的開集」，那麼若按照這個定義，設U,V為X的開集，因U V為X的開集，應自然知道
f(UV)為Y中開集，但我們僅僅知道 f(UV) f(U) f(V)(因為 f 未必是單射)。
而標準的定義就不存在這個問題，因為若假設 W,T為Y的開集，則 (W T)= (W)與
(T)的交集。你說的定義僅指 f 為開對映。
2樓：Dr.Shalabaji
把開集射到開集的對映是open map。open map 不全是continuous, continuous map不全是open。
3樓：ketu
因為這樣定義能保持拓撲空間的性質，且滿足遺傳性和可乘性。
1.設 是拓撲空間之間的對映，則不難證明
連續 開集的原象是開集 閉集的原象是閉集.
這個性質說明連續條件下，拓撲空間 的結構對於子集的原象是完全保持的：開(閉)集的原象仍是開(閉)集.
我們可以對比「開(閉)集的象是開(閉)集」，即開(閉)對映，這兩個定義並不是等價的，很容易舉出例子：包含對映 是開對映，但不是閉對映（如 是 的閉集，但不是 的閉集）；常值對映 是閉對映，但不是開對映.
2. 連續的定義滿足遺傳性，即若 連續（類似地，或在某點連續），對 ，則可證明限制對映 也連續. 但開對映就不一定滿足了，如上面提到的包含對映的例子.
3. 連續定義滿足可乘性. 容易證明 連續當且僅當 的兩個分量連續.
我認為，從本質來看，連續的定義是區域性性質，首先有單點連續，再定義某子集的連續，至於「開集的原象是開集」，這是」整體性「的表述。注意單點集的原象情況可能比較複雜，不好把握，但單點集的象仍然是單點集，這是很清楚的。當然，上面寫的3個理由也挺重要.
4樓：寨森Lambda-CDM
你可以寫乙個順序正常且符合直覺的定義，只不過不用開集：
先定義點x接近點集S，當且僅當：x屬於S的閉包（有些書上把這樣的x叫做S的接觸點）
那麼定義 f連續，當且僅當：如果x接近S，那麼f(x)接近f(S)
5樓：sumeragi693
因為連續函式不一定把開集對映成開集，這個例子太多了，比如 或者 把開集的 對映成非開集的 ，但 在 是連續的。
另外，把開集對映成開集的函式也不一定是連續的，例如定義分段函式 ，它在開區間 上有定義，並且容易證明它把 對映為 。值域是兩個開區間的並，所以它也是開集。雖然 把開集對映成了開集，但 在 處間斷。
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