1樓：anderson
基和子基的意義是可以通過基和子基來更加簡便地分析拓撲空間的性質。
具體用途是在很多情況下對於需要分析所有開集的定理，可以轉化成只需要分析基或者子基命題同樣可以成立。
基做任意並生成拓撲空間，子基先得做有限交再做任意並才能生成拓撲空間。
2樓：南七北樓
的確，子基和基都能作為拓撲（開集族）中的一部分開集來「生成」拓撲（也就是開集族）。首先我們來談談，子基和基生成拓撲的方式有何異同。
先上結論。首先來看如何由基(basis)來生成想要的拓撲：
（James Munkres Topology）
簡而言之，基生成的拓撲，就是基中元素的無窮並。（RMK：由於無窮個元素中可以是除有限個以外均為空集，所以，這個表述自然包含了有限並）
然後，再看如何由子基(subbasis)生成想要的拓撲：
概而述之，子基生成的拓撲，就是子基中元素有限交的無窮並。
你應該已經發現了，就生成的方式而言，基更簡單直接，而子基更曲折間接。這種根本的差異來自於：基的結構更加良好。
也就是說，基有附加的結構約束。（相比而言，子基本身除了要求是開集族以外，沒有任何約束）
注意（2）這條根本的約束。一方面，可以把基看成一種特殊的子基。另一方面，也決定了基具備子基所不具備的良好性質：
基中某些元素的有限交，本身就可以看作基中另一些元素的無窮並。這條性質，使得「基中元素的有限交」的無窮並即是「基中元素的無窮並」的無窮並，也就是基中元素的無窮並了。
回到題主的問題，為什麼要分別定義基和子基？
一方面，基生成拓撲（開集族）的過程直觀而簡練。因此，基的性質很多時候直接反映了開集族的性質。後者被稱為「拓撲性質」，是點集拓撲學的主要研究物件（幾乎任何有關開集的性質都可以轉到基上考慮）。
另一方面，子基生成拓撲的過程較複雜，但子基本身的結構簡單而無要求。在數學語言的角度看來，子基反而才是「生成」乙個拓撲的一般結構。因為子基生成的拓撲，即是包含子基的最小拓撲（即最少，也是最必要的那些開集全體），也即是所有包含子基的拓撲之交。
如果你看過一些代數內容，了解由子集合生成的子群、正規子群，子集合生成的理想，應該對這種生成方式感到親切。另外有時候，有些斷言（比如Alexander子基定理）反而在子基這種弱條件下才顯得不平凡。
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