1樓：PKU.JackeyLove
看了看前面的回答，都是些什麼啊。
我來支個招吧，用有限覆蓋定理。對每一點都取乙個有界鄰域，從而形成對閉區間的開覆蓋，從而存在有限開覆蓋，從而有界。
2樓：粟中一電子
要證連續函式在定義閉區間內有界，可以去看教科書上的標準答案。但是任意定義閉區間....... 還需要證明嗎？
在定義閉區間上有界，在任意子定義閉區間上的界會超出在定義閉區間上的界嗎，應該是小於等於的關係吧，從而任意定義閉區間.......有界。
3樓：鞏正一
既然是要用 epsilon-delta 語言來表述，那說明題主應該是數學專業或者靠近數學專業的學生了，其實數學科研是把idea用嚴格的語言寫出來的過程，前者需要思考，後者則依靠的是後天的訓練。所以這裡我覺得重要的是，為什麼閉區間上的連續函式有界，如果想明白了這個，證明只不過是把想法用嚴格的數學語言寫出來而已。
所以為什麼是有界的，用反證，如果沒有界，那總可以找到一列 ，兩兩不同，且使得 f(x_n) >n, 閉區間都是有界的，所以 一定相對集中，即有收斂的子列，而且極限點也在這個閉區間裡，那麼就自然和連續性有了衝突。
剩下的工作就是把它寫出來了，剛開始接觸嚴格數學語言誰都會不舒服，但是習慣之後就會慢慢發現這種語言的美感，以及和思維過程之間的自然聯絡。
數列極限的有界性為什麼不是區域性有界性？難道區域性強調的是連續嗎？
HMKenny 三兩句話足以 1.如果是函式極限你要考慮這種情況 x趨0時，f x 趨向無窮大 比如1 X x趨3時，f x 趨向9 比如x 2 這兩個函式拼接成乙個函式就是 瞎編的函式拼接，但是差不多是這種函式 在x 3處區域性肯定是有界的，但是其他地方就不能保證有界了，比如原點。2.如果是數列極...
函式極限區域性有界性 定理2 證明中f x m,為什麼有 m
alphacalculus 定理本身的結論是當 時，有 而證明過程只能得到當 時，證明得到的 是否包含在 中，顯然是包含的，因為 是指小於或等於之一成立或同時成立都可以。那麼定理的結論為什麼不直接寫為 這是因為函式的有界性定義是 所以這裡的函式極限的區域性有界性定理2依然是函式的有界性，依然要符合前...
關於函式極限的區域性保號性 的取值！？
另一座冰山 最近在複習高數也遇到了這樣乙個問題，感謝題主在此之前提出這個問題，在答主們的幫助下終於解開了我的疑惑，但是在我剛看完各位大佬寫的東西之後並沒有立刻就懂得個中原因，於是希望將自己的見解寫下來，以幫助後來者更好地理解這個問題的答案。首先，我們是為了證明極限具有區域性保號性，因此以A 0為例，...