1樓：Homura
蟹不邀。
一句話概括就是鄰域的定義依賴於拓撲（因為你要有開集吖）。
度量拓撲是拓撲中的一種，可以在度量空間被定義出來（因為你要有度量嘛）。
鄰域的定義是，對於某一x屬於X，若存在乙個開集U使得x屬於U，並且U包含於某一集合V，那麼說V是x的鄰域。而說到開集我們就要說拓撲。
拓撲就是我們定義的全集X的所有開子集的集族（也就是所有開集的集合）。我們可以定義各種各樣的拓撲，只要滿足拓撲三條公理即可。
度量空間自帶的度量拓撲。首先度量拓撲我們可以定義開球。度量拓撲定義的開集是，若某一集合可以寫成任意多個開球的並，那麼這個集合是開集。符合這一定義的開集的集族是度量拓撲。
鄰域可不可測的問題就要看你怎麼定義sigma代數了。類似拓撲定義了開集的集族，sigma代數定義了可測集的集族。也是滿足它的三條公理即可。
如果你定義Borel集的集族為sigma代數那麼開集和閉集都可測。
也是可以構造出不可測集的，要是構造出的不可測集包含乙個開集那就好啦~這樣你就得到了乙個不可測的鄰域…剩下的我也不記得了2333。
2樓：
鄰域是個拓撲概念，就是拓撲裡的開集。有度量空間一定有拓撲，也就一定有鄰域。但是鄰域可以沒有度量空間。
舉例：E =
在其中定義拓撲 T = , , , E}則其中的, , , E，都是鄰域，也可明確稱為其中每乙個元素的鄰域（如王五的鄰域有, , E三個）。這就是不依賴度量的鄰域。
任意拓撲都可以生成波瑞爾（Borel）集（比如上面的例子中T生成的波瑞爾集也是T），從而可以定義波瑞爾測度，所以從這個角度來講，鄰域一定至少有一種辦法是可測的。比如對於上面的T，我們可以定義
m( )=0
m( ) = 1
m( ) = 0.1
m( ) = 1.1
m( E ) = 2
3樓：Yuhang Liu
鄰域依賴拓撲，事實上鄰域和拓撲相互決定。有4種物件可以以相互等價的方式給出拓撲：開集、閉集、閉包、鄰域。
而度量空間自帶拓撲，但是不同的度量可以給出同乙個拓撲；典型地比如有限維實或者複線性空間上任何兩個範數均等價，從而任何範數都給出相同的拓撲——當然範數又是個比度量更細緻一些的東西——順便提一下，這也是有限維空間和無限維空間的乙個本質區別，有限維線性空間上本質上只有一種拓撲，而無限維空間上可以以各種方式給出互不等價的拓撲，這也就是為什麼泛函比線代複雜很多，同乙個無窮維線性空間裡能有強收斂弱收斂範數收斂等等不同的收斂方式，每一種收斂方式的背後都是一種拓撲。至於可不可測，這又是另外乙個範疇的問題。可測結構是另一種不同的結構，當然對任何拓撲空間都可以取Borel可測集，也就是開集全體生成的最小sigma代數；既然是由開集生成的，那麼開集閉集在這種可測結構下當然都是Borel可測的。
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