1樓：
把「有可數基」的意思清楚地寫下來，再把「所有開覆蓋都有可數子覆蓋」的意思寫下來，你應該可以看到聯絡的。dhchen已經給你在一般拓撲空間中證了。
值得注意的是，在度量空間中，這兩個性質實際上是等價的：「有可數基」當且僅當「所有開覆蓋都有可數子覆蓋」。證明不難，你可以試試。答案在這裡：
Metric Space is Lindelf iff Second-Countable
2樓：dhchen
設 是第二可數的而 是它的乙個開覆蓋，設 是 的乙個可數基。
我們知道對於 ，它都可以表示成 中可數個元素的並，所以我們可以這這些元素挑出來，設為 (至多可數的)，然後把所有這樣的開集（去掉重複的）並在一起，我們得到乙個可數的開集族 . 它具備下面的特徵，
1： 每個 都至少包含在某個 中
2：全部的並能夠覆蓋 , 因為 .
所以，我們不妨找到乙個子覆蓋 .根據上面兩個性質，你可以發現這個子覆蓋的確包含了 。
對了，可分是不能保證Lindelf的，最有名的例子是 空間，它是乙個可分的, pseudocompact, 卻不是countably compact和Lindelf的。
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