1樓：Song
問題是個好問題。事實上在單變數的簡單函式的情況下，看上去這個鄰域似乎去不去心是無所謂的。所以產生這樣的問題很正常。我們把這個問題分開來說。
1.極限研究的是什麼？
我們知道，變數的極限的值可以是變數能夠取到的，也可以是變數取不到的。考慮數列1/n就可以理解這一點。所以對於函式也是同理，當我們研究函式在x0處的極限，並不關心也並不需要關心f(x0)的情況，我們只研究它附近的函式情形。
同時，我們把那些在x0處函式值=極限值的函式，叫做連續函式。
2.如果不去心會發生什麼情況？
在單層函式的情況下，考慮這樣乙個函式：
f(x)=0，|x|>0，f(x)=1，x=0
這時候你發現如果研究它在0的極限，如果不去心，則壓根不存在極限。因為無論你給什麼極限值A，要麼|f(0)-A|不能小於任意正數，要麼非0的x使得|f(x)-A|不能小於任意正數。
注意我上面說的一段話，這非常重要。
在復合函式的情形下更是如此。
滿足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.
才可以證明lim(x->x0)f(g(x))=A.
否則存在反例：
當u=0時,y=f(u)=0,當u≠0時,y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
顯然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0處沒有極限.
因為在0的任意小的去心鄰域內都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
這樣在0的任意小的去心鄰域內,f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到,f(g(x))在x=0處沒有極限。
2樓：alphacalculus
函式連續性的定義裡，也是用的極限概念，那裡就沒有用去心鄰域。
所以有人說只是趨近而不等於，這顯然不對，有等於的時候。
我們為什麼求函式在的極限？主要原因是無法讓而直接通過函式表示式求出,這就是需要去心的原因。
3樓：比目魚
高等數學與初等數學最大的區別就在於研究工具不同。高等數學最重要的研究工具就是極限。有了極限才能定義連續，可導。
而求函式在某一點的極限並不要求在那個點有定義，因此有必要引入去心鄰域。
4樓：飛荊
我個人理解的是一般需要去中心領域的定義或公式大多只關心該函式在此域內的函式特性，比如是否可導、可積、單調性等，並不在意具體某個數值的影響。如果不去的話可能會對分析間斷函式造成影響。
《高等數學》教材中用極限定義導數是必要的嗎？
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我估計答案的解析不是你想的那個意思 他的言外之意應該是 誰都知道對應法則是一樣的，但很多人可能忽略了定義域和值域的問題，我這裡重點解釋這個。就像在判斷香蕉和大香蕉是不是乙個物種時，你會說 是，因為大小不影響物種。這並不代表物種相同的定義僅僅是大小。 Kawhi 我記得函式相等最重要也是最顯然的一點就...
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