1樓：Shin
用反證法。
對於三角形 ，我們先取 中點 , 中點 , 中點 。那麼顯然 。
那麼我們假設在 上存在 滿足 ，且 不與 重合。即與至少有兩組頂點不同。
顯然 。
1. 若有一組頂點相同。不妨假設 ，那有
我們再分兩種情況。
1.1那麼 只能在 上，否則 DF" eeimg="1"/>或者 DE" eeimg="1"/>
然而此時 \angle EDF" eeimg="1"/>，矛盾。
1.2 90^\circ" eeimg="1"/>
同上，顯然 不可能同時在 的一側，否則無法滿足
那假設 在 上， 在 上。
然而此時 90^\circ" eeimg="1"/>，所以 DE" eeimg="1"/>，矛盾。
所以不可能有一組頂點相同。
2. 無頂點相同。那有
分兩種情況。
2.1 假設這三個命題
i.在 ， 在 ；
ii. 在 ， 在 ；
iii. 在 ， 在
至少有乙個為真。
不妨設在 ， 在 。然後設 在 。
如果 ，那麼 1" eeimg="1"/>， EF" eeimg="1"/>。矛盾。
如果 ，分三種情況。
2.1.1 若。如果 \frac" eeimg="1"/>，過 做 的平行線交 與 ，
那麼顯然 EF" eeimg="1"/>， 90^\circ" eeimg="1"/>。則有 GK > EF" eeimg="1"/>。矛盾。
如果 則過 做的平行線交 與 ，同理會得到矛盾。
2.1.2 如果 90^\circ" eeimg="1"/>
類似2.1.1 容易證得 。矛盾。
2.1.3 如果 90^\circ" eeimg="1"/>
設 交 於 。注意此時應該有 ，否則過 做 的平行線交 於 ，有 JM \geq MN = FE" eeimg="1"/>，矛盾。
過 做 的平行線 。注意 應在 內部因為 。
同樣的，過 做 的平行線交 於 。顯然有
設則 到 的距離 為
類似的有
由於 ，有
所以 同理
兩式相除得
由正弦定理， ，所以 ，即 ，然而若 ，則 ， 與 重合，矛盾。
2.2 既然2.1不成立，那麼只剩下
在 上， 在 上， 在 上。或者在 上， 在 上， 在 上。這兩種情況等價，我們假設為第一種情況。
我們假設
並且設則 所以
同理，則 ，矛盾。
綜上所述，所有情況都會產生矛盾，則原假設不成立。即 和 一定重合，原命題得證。
我比較菜，幾何法的話暫時只能想到這種方法了。大佬們應該能給出更漂亮的證明。
順便這題讓我想到了另外一道題，是IBM Ponder This 2023年8月的題目。
IBM Research | Ponder This | August 1998 Challenge
如何解這道題
yyx 做這種題就是把左右邊湊成形式一樣的東西，然後就可以發現整體變成了乙個等差或等比數列，從而進行求解 注 為方便書寫，以下用a表示an，用b表示an 1，c d為待定係數 對等式兩邊同時加上乙個c後取倒數 目的是為了保持右側形式不變的情況下，把左邊弄成類似的形式，技巧性較強 1 a c 3b 1...
平面幾何用代數法解幾何的原理是什麼？
亮貓 原理就是，用不同的方法表示乙個量兩次，然後令相等即可。具體可以查 算兩次原理 得到恒等式的原因是，你採用的那兩種方法本質上是一種方法，由於幾何定理體系裡面有很多等價定理 如很多定理其實就是相似三角形定理的推論 所以這種情況時有發生。這個時候一般是考察已知條件還有沒有沒用上的，想辦法用上就可以了...
這道規律題如何解？
fever wong 我覺得這道題的關鍵在於如何衡量最合適，有沒有哪種標準或準則。答案可以是17，分析可參見 這道規律題如何解？當然我覺得也可以是7。左上有4 3 2 3 1 左下有5 5 3 3 1 右下有7 9 5 3 1 因此可猜測右上有?6 4 3 1，可得?7。 樂e學教育 我認為填5不妥...