1樓：
既然是問原理不是問證明，那就應該說的本質一點。
簡單的說，原理就是柯西不等式，或者說是平均值不等式，都可以：
等號成立條件是這一堆數都相等。
這個不等式換一種說法：當這個總和固定的時候，平方和在這一堆數都相等的時候最小。
更本質的說法是這個函式的凸性，由於這個函式是下凸的，所以，（請自行腦補函式影象和左右兩邊在影象上的位置），由此可得上述平方和與和的平方之間的關係。
以上是巨集觀的。至於A不能等分的情況，可逐步微調的辦法處理。
但總體上，由於函式凸性，這個東西是在兩個數接近的時候比較小，兩個數相差較大的時候值比較大。
2樓：陳根寶
首先肯定題主的劃分確實是最優劃分，以下給出證明設有所以我們有
所以按題主的劃分，以下簡稱方案A我們有
所以有設是的任意乙個劃分B，則總可以表示成下面的兩個和，即總有：
所以有現在即我們只需證明即能得出A是最優方案，很明顯當b = 0時該條件成立
當 是我們有，因為
所以我們有
所以(此處有誤)
得證！，，
又因為當時我們有：
所以所以
所以得證！
3樓：
磨光變換。
假定最優解不是這樣，那麼可以進行微調，得到乙個更優解。（參見 @npbool的回答）
於是我們知道，最優解如果存在，必定為均分（各項之間最多相差1）的形式。
又因為最優解必定存在（所有的分法種類數都是有限的，因此下確界一定可以取得），說明均分的方案就是最優解。
4樓：
答案是這樣，證明也很簡單。
首先如果A/n為整數，那麼這就是均值不等式的情況：
等號當x_i都相等時取到，即都等於A/n。
如果不是整數，也就是我們會有兩類數，第一類=x，第二類=x+1，如果我們對這組數進行調整，只有這麼幾種情況：
1. x,x=x-1,x+1;
2.x+1,x+1=x,x+2;
3.x,x+1=x-1,x+2;
4.x,x+1=x+1,x;
對第一種情形，(x-1)^2+(x+1)^2=x^2+x^2+2>x^2+x^2，
其餘類似，都是遞增的情形，也就是說這組數是乙個區域性極小，而f(x)是乙個凸函式，區域性極小就是全域性最小。
乙個不大於n的正整數的約數個數期望意義下是多少？
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