證明對於每個實數x都存在乙個整數n使得n x n 1，證明過程有些繁瑣，可以簡化嗎？

1樓：Snorri

根據對稱性，考慮x大於0的情況。

1.不存在比所有正整數都大的實數，所以R_x = 不是空集。

2.正整數的任何非空子集都有最小元素，所以存在n_0 = min(R_x);

3.按照n_0 的定義，n_0 - 1 小於等於x。

所以n_0 - 1就是要找的數。

如果x小於0，考慮-x，把上述過程中的R_x = 改成R_x = 即可。

2樓：

題主也在讀《陶哲軒實分析》這本書吧，這個證明是此書 93頁的習題5.4.3 。

看了以上各位的回答，我來告訴你「正確「的做法吧，即：證明是正確的且符合本書的邏輯，不會用到任何超出此書93頁的概念或定理。

證明：分存在性和唯一性。

存在性：用反證法。假設對某實數x，不存在整數N，使得N ≤ x < N+1。

因為必定可以找到乙個整數M，使M≤ x，那麼由反證假設，得 M+1≤ x，同理，因為 M+1≤ x， M+1+1=M+2 ≤ x，由數學歸納法易得對任意自然數K，M+K ≤ x，即 x 大於等於任意整數，這顯然是錯的，因為必定可以找到乙個整數比 x大，存在性證畢。

唯一性：假設另有整數M，滿足 M ≤ x < M+1，不妨設 N< M，則 N< M ≤ x < N+1< M+1，可得 M < N+1，而 N< M 等價於 N+1 ≤ M，矛盾，故只有 M=N，唯一性證畢。

以上證明，是我做此題時，總想用已經證出的有理數取整的結論來證 x 是實數的情況，不得其法後，請教網友葉盧慶，他給出的解答（當然，其中唯一性的證法我在證x是有理數的情況時也用過），在此對他表示感謝。