1樓：RainbowNEOS
運算的本質是對映，它必須滿足封閉性。「集合，運算」的結構要求運算結果仍然落在這個集合之內。如果不能完全地定義，本質上就不能認為是運算，必須對於這個結構有所調整才能變成運算。
按照抽象代數的語言，乙個交換么環（集合，加法，乘法：定義了加法，具有交換群性質——「結合律」「交換律」「含0」「含加法逆（相反數）」；定義了乘法，具有交換么半群性質——「結合律」「交換律」「含1」；此外成立「乘法對於加法的分配律」），如果除了0以外的元素都具有乘法逆（也稱倒數），就認為定義了一種合理的除法運算。這樣的環稱為域。
除法通常認為是「解乘法方程ax=b」的運算。對於乘法不交換的環（例如「方矩陣，逐元素加法，矩陣乘法」），左除和右除會有區別——雖然這個環並不是所有元素都能除，比如行列式為0的矩陣——奇異矩陣。
再比如，整數通常不保證能除法，「整數，加法，乘法」只能構成交換么環。有理數則可以，所以「有理數，加法，乘法」構成域。
是否存在乙個正整數集S，使得每個正整數都可以唯一表示成S中兩個數的差？
可以的。我們可以遞推的構造。S N 是乙個有限的正整數集合，T N 是S N中兩不同元素差組成的集合，滿足 1 S N中任何兩個元素差不同 2 T包含 但不包含N 1.因為S N有限，所以 T有限。存在正整數M 大於T中所有元素。記A為S N中最大的元素。令S S N 記T 為S 中兩個數差的集合。...
如何判斷乙個 16 位乃至更高位的整數是否為乙個素數？
看了一下，大家給的答案都是估算方法，我講乙個準確方法，不是埃拉託色尼斯篩法。素數本身是沒有規律的，他的規律基於合數。以20為例，要求出小於20的素數的個數只要求合數個數就很容易得到。但是問題是會有許多重複的合數出現，比如15，他即會出現在20 3裡面，也會出現在20 5裡面，這樣就多算了乙個合數，實...
能否構造乙個函式，使其定義域為整數集，值域為有理數集呢？
高中生研究這幹嘛，這在數學系實變函式裡很簡單的問題。如你以後不讀數學系，這問題你幾乎用不上。我們只考慮一一對映。樓上已經給了答案，按康托爾對角線法則很容易構造出一一對映。構造出增函式的一一對映是不可能的，這就相當於把有理數從小到大排列出來。我們先簡化問題只考慮零到一的有理數。很顯然沒有這序列，因為任...