1樓：
高中生研究這幹嘛，這在數學系實變函式裡很簡單的問題。如你以後不讀數學系，這問題你幾乎用不上。
我們只考慮一一對映。
樓上已經給了答案，按康托爾對角線法則很容易構造出一一對映。
構造出增函式的一一對映是不可能的，這就相當於把有理數從小到大排列出來。我們先簡化問題只考慮零到一的有理數。很顯然沒有這序列，因為任一有理數都有可列個有理數比他小。
2樓：普通的穗乃果普通地搖
增函式不可能，因為(f(n)+f(n+1))/2是有理數而大小介於f(n)與f(n+1)之間。
不要求增函式的話，可以用康托爾對角線法構造，別的答案應該已經說過了。如果不要求一一對應的話，可以不剔除重複的非既約分數，表示式應該可以不太複雜。
3樓：圖騰
一一對映是很簡單的，相當於在二維平面上格點與自然數對應，只需要用斜線就行了
但是增函式是不可能的，因為f(1)和f(2)之間必有有理數，而與一一對映矛盾。
4樓：醬紫君
康托爾用對角線法則證明了 等勢:
也就是如這張圖所表示的...
當然這張圖本身就表示了乙個函式...
不過你要是問能不能給出乙個表示式...
這就有點困難了...不過對OEISer來說都是小Case.
分子:[1],[1,2], [3,2,1], [1,2,3,4], [5,4,3,2,1]......A092542 - OEIS
分母:[1,2,1], [1,2,4,,3,2,1], [1,2,3,4,5,6,5...]....A092543 - OEIS
首先介紹一位老朋友:
這個數列是:0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3....編號A003056 - OEIS
然後有:
其中:代入化簡得:
也就是:
那麼這個函式長什麼樣呢?
那能不能是單調增函式呢?
假如有個單調增函式 滿足題主的要求,那麼 是兩個有理數.
那麼請問 是不是大小介於兩數之間的有理數...它的位子在哪呢?
有理數稠密而整數不稠密,不存在這樣乙個增函式滿足題意...
5樓：
能。整數集和有理數集都是可數無窮。可以一一對應。
但是無法做成遞增吧.
於是我試著構造了乙個....函式
(define
next-rat
(lambda
(now-rat)(
let ((n
(get-n
now-rat))(
d(get-d
now-rat
)))(
if (= d
1)(make-rat1(
+ nd))
(make-rat(+
n1)(
- d1))))))
(define
(int-ratn)
(define
map-iter
(lambda (n
result
);;暫不考慮n小於0以及負有理數
(if (=
n0)result
(map-iter(-
n1)(
next-rat
result
)))))
(map-itern(
make-rat11
)));;定義有理數資料結構
(define
make-rat
cons)(
define
get-n
car)
(define
get-d
cdr)
6樓：劉杳
如果懶得看文字，這個圖就說明了一切（網上搜的）
不包括負的？那讓負的整數對應那些負有理數。或者下面這個圖，我更喜歡（也是網上搜的）
我知道題主困惑什麼，題主想的是乙個用公式表示出的函式，像什麼sin(x/180 + cos(x^2))這樣。其實數學史上很長時間都只認這樣的公式為函式（參看知乎關於「函式」中文翻譯的答案）。但後來公式種類越來越多，帶極限、帶積分，甚至是某個微分方程的解就被命名為乙個新函式。
人們覺得何不承認所有對映，不必非要用我們所熟悉的「特殊函式」（好像是Dirichlet持這種意見，Weierstrauss或許還是堅持以收斂級數為函式）。
7樓：
等你學了《實變函式》就知道了，整數的數量和有理數的數量是一樣多的，都是可數個，也叫做可列可數個，手機不方便回答，抱歉！
既然後面有大神解釋了，我就不重複了，無視我吧
8樓：TimidCreeper
這個問題在修習了高等數學的基礎上會變得很容易。由於實數範圍內的有理數太多了，我們搞不清楚，所以我們先考慮[0,1)區間內的有理數。但這裡面的有理數也很多，所以我們從簡單的開始。
拋去特殊的0，分母是2的有乙個，即1/2
分母是3的有兩個，即1/3，2/3
以此類推，我們可以列出所有的有理數。當然，其中有重複的項，如1/2和2/4，不過沒關係，遇到的時候直接跳過就可以了。按照這樣的方法我們顯然可以構造出乙個數列，使得在[0,1)內的所有有理數必然都出現在我們給定的數列裡。
現在我們考慮一組區間：[n,n+1)
顯然這個區間可以排成一列。如果你覺得按照n的大小無法排成有開頭的一列的話，那我們這樣來看就好了。
n=0，n=1，n=-1，n=2，n=-2……
按照如上n的順序，我們可以得到一組區間，它們互相之間交集為空並且全部並起來是實數集。也就保證了任何乙個有理數，乃至實數，都會至少出現在其中乙個區間裡。
並且每個區間裡的有理數我們都能排成一列。即n+0，n+1/2，n+1/3，n+2/3……
有了上面兩步之後，我們終於可以開始接下來最關鍵的一步排列了。
我們可以把n=0的數列排列在第一行，n=1的排在第二行，n=-1在第三行，以此類推。照著這樣的排列方法，我們容易得到乙個二維數表，並且是有第一行第一列的。而且我們還能保證任何乙個有理數都出現在了該數表中。
如果能把這個數表裡的數還排列成乙個新的數列，並且將每個位置的數值作為對應於0,1,-1……等點的函式值，那麼題設的函式就構造好了。
我們這樣考慮，不妨記這個數表中第n行第m列的數為a(n,m)。我們按照如下的順序去排列，即可達成我們所需要的效果：
a(1,1)，a(2,1)，a(1,2)，a(3,1)，a(2,2)……
即首先把m+n=2的選出來，按照n從小到大排列，然後再選擇m+n=3的以同樣的方式排列，然後再選擇m+n=4的……如此，即可得到乙個全新的數列。我們記其為r(n)。
建構函式f(n)=r(n)，顯然定義域為整數，而值域為有理數。
能否單調化？
定義域上連續且可導的函式，其導函式一定連續嗎？
黎弗曼 連續且可導的函式，其導函式不一定連續，因為可導函式的導函式也可能含有振盪間斷點。比如下面這個常見的函式 1 eeimg 1 1 eeimg 1 可以看出，當n 2時，f x 的導函式f x 是連續的 當1可見，雖然大多數 可導函式 的導函式是 連續函式 但有些特殊的函式，比如某些原本含有振盪...
列舉乙個定義域連續且在無理點連續，有理點間斷的單調函式
可以的。乙個函式，我們利用一下負數的乘方。如果x Q，Y 2 X x R Q，Y 2 x這樣就是有理點間斷無理點連續的函式。因為x取如0.5，0.25等沒有意義，所以有理點間斷。先找個收斂的序列，比如xn 1 n 2 再把正整數一一對映到有理數上，記這個對映是f然後從t 1到正無窮，求和函式gt x...
c 中乙個只有有參建構函式的類怎麼做為函式的形參？
GarfieldKwong 你編譯錯誤的原因其他答主已經說清楚了，就是DepthFirstSearch裡的成員Graph g導致的。DepthFirstSearch的建構函式沒有顯示初始化Graph g，編譯器預設呼叫Gragh 良好的是類的建構函式裡每個成員變數都要顯示初始化。其實編譯器裡Dept...