1樓：包清
一般性的結論不知道，不過就事論事地說這單個級數我認為是收斂的。因為級數1/（nsinn）中sinn的值是在區間（0，1）中的所以該計數的每一項都大於0是單調遞增的，同時該正項級數又是小於級數1/n的，級數1/n收斂，所以級數1/nsinn有上界，根據單調有界原理，該級數單調遞增有上界所以收斂。只針對這個級數，改變冪單調有界原理的條件很容易不適用。
2樓：
為了不失一般性, 我們加大難度, 考慮
若對任意正整數 n 方程 都有解，則 x 一定是超越數.
這個論斷被稱為 Liouville 定理, 這種數被稱為 Liouville 數.
對於實數 x, 定義集合
其中 只有有限組, 記函式 為 x 的無理度量.
根據定義易知:
如果 x 是個有理數, 那麼
如果 x 是個代數數, 那麼 , 當然這樣的數代數擴張得大於 1.
如果 x 是個超越數, 那麼
接下來我們再次考慮級數
我們知道顯然不是有理數. 令 0,k=\mu(\pi)+\dfrac" eeimg="1"/>.
於是下列不等式只對有限的互質數對 成立:
對於正整數 n, 令 , 於是有 .
注意到 時有不等式 成立.
於是就有:
與此同時, 對於充分大的 n 和 m, 我們有 .
可以推出:
也就是說, 正的常數 c 只取決於 k 而非 n, 因為 隨 n 增大而趨近於 .
因此, 對於所有充分大的 , 我們有:
如若 , 我們取 就能得到:
由於 , 我們有 0" eeimg="1"/>, 於是:
反之, 如果 1+\dfrac" eeimg="1"/>, 對於 原不等式對於無限多的互質數對 成立.
那麼就存在這樣的有理數列 使得 且 .
於是:正的常數 C 只取決於 k.
因此對於 我們有:
C^v\cdot n^ = C^v" eeimg="1"/>
另一方面 時, 我們有:
我們可以得出結論，序列 發散.
因為原序列包含兩個子串行，乙個趨近於正的常數，另乙個卻趨近於零.
綜上所述, 對於任意正實數 u 和 v, 有:
0" eeimg="1"/>
進而 時, 的序列和收斂到 0.
而當 1+/" eeimg="1"/>時, 的序列和發散.
如若 , 讀者自證不難.
當前最好的上界由 Salikhov 在 2008 年證明, 我們有:
藉此我們就能判定很多這種形式的級數的斂散性.
3樓：dhchen
小於2.5。 而這個估計會比目前最佳的估計好得多。BTW, 數學家普遍認為 . 有兩個原因，首先數學家證明了 ,第二是證明了幾乎所有的實數都滿足 .
如果哪位知乎er證明了其收斂性，我建議是先寫篇文章，投稿到arXiv，然後在再來答題比較好。
關於irrationality measure的文獻很多，難度要大得多。
Explicit irrationality measures for continued fractions
On the irrationality measure of log3
如何證明以下級數收斂？
Acid 經 王箏 提醒，原猜想不普遍成立，補充如下 對於超越數 若 的 irrationality measure 3 eeimg 1 則 不收斂。證明 由 irrationality measure 的定義有 0 eeimg 1 存在無窮多組 使得 記滿足條件的 組成的集合為 則 記 因此 由於...
是收斂的級數多還是發散的級數多
子夏233 樓上說的，emmm，雖然也沒錯，但是我覺得題主想問的不是這個。比如全體整數和全體偶數雖然同樣可以構造一一對映，但是感覺告訴我們全體偶數比全體整數 少 那麼這種 少 如何用數學來準確的表示呢，當然是用概率。顯然從自然數集中抽乙個數，它是偶數的概率是二分之一，嗯，小於一，而且符合直覺，很ni...
無窮級數 n 1 0 sin n x dx 是否收斂？
這個問題等價於研究乙個帶有引數的積分當引數引數趨向於無窮大時的漸進性質。關於大引數實積分的漸近計算，目前有及其成熟的研究成果。下面介紹其中的一種方法，laplace漸近方法。laplace漸近方法用於計算形如 的laplace型積分當引數n趨向於無窮大時的漸近展開式，其中f x 的增長率要小於指數。...