1樓：Ethel
首先有兩點要說：
1.可以說 是條件收斂。但 ，是發散的
2. ，如果 收斂 收斂
如果 收斂 收斂
其他答主已經給出了非常詳細的解答了，我來說乙個另外的方法——Cauchy Condensation Test（翻譯應該叫柯西併項檢驗）
可以證明對於乙個單減的正數列 ,當且僅當 收斂時，級數收斂（證明寫在後面）
對於 ，
發散，所以 發散。
用此方法也可以進一步證明 發散。
關於柯西併項檢驗的證明：
考慮乙個單減的正數列 ，對於 的項用結合律做不同的處理然後放縮。
我們可以得到 進而得出結論
2樓：
因為在正項級數裡，有這麼乙個重要的定理：
對於乙個定義在 上的正項遞減函式
那麼級數 和廣義積分 具有相同的斂散性
這叫做Cauchy積分判別法證明是極其簡單的
現在你知道了 與 是同斂散的，後者發散所以前者發散而 與 同斂散
而當然也發散
類似的構造可以無限繼續下去，比如：
也是發散的
3樓：玖拾燁
雖然說，所有的級數收斂的充分必要條件是當n趨於無窮時，通項的極限存在且趨於0，然後我們來看：通項是1/nlnn，當n趨於無窮，比較正無窮於負無窮的時候發現不一樣，說明極限不存在，所以級數發散，但是如果用乙個人正常人的看法來說，(1/2ln2)+(1/3ln3)+...是比(1)+(1/2)+(1/3)+...
收斂更快的，而且當n趨於無窮時，lnn趨於無窮的速度稍微比n慢一些，根據p級數，當p大於1時，p級數是收斂的，因為nlnn肯定來說是要大於一階的無窮大的，所以理當收斂。所以有兩種說法
4樓：橫山森
首先，這個調和級數並沒有所謂條件收斂，它是發散的。至於條件收斂，那是交錯級數 根據 判別法條件收斂。
利用 積分判別法，由於函式 是單調減少的非負函式，可以由此分析廣義積分 的斂散性。
因為 ，所以級數發散。
5樓：
很多答主也提到了對f(x)＝1/xlnx在無窮區間積分發散的基本點，這一點我相信大部分人在證明過程中都能想到，重點是「如何把連續區間的積分轉化為乙個定點的函式值」
高數里有乙個很常見的方法：
積分中值的內容很簡單，就是把連續區間積分轉化為區間長度與積分值的乘積。那麼顯然，我們構造f(x)在區間(k-1,k)的積分，很容易通過中值定理將積分轉化為(k-k+1)·(1/ξlnξ)＝ξlnξ＜klnk。
到這裡這道題目就已經得到解決了。剩下的步驟就是把和式的每一項放小為乙個長度為1的區間上的積分，那麼合式也最終放縮為f(x)在(2,+∞)上的積分，顯然積分是發散的，那麼級數也是發散的。
6樓：魔塔亡神2112
先吐槽一下這個問題，Σ1/n是發散的……
至於證明Σ1/nln(n)發散，可以證明相應的無窮積分 發散，後者使用換元可以輕易證明
7樓：朱珂銳
考慮積分 發散，所求級數顯然被該積分值控制。
關於第二個問題，考慮 0,\lim_}}=0" eeimg="1"/>，可以看出對數函式的增長速度確實比任意確定階冪函式慢
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