1樓：無咎
最近又學了一遍概率論，對這個問題有了點新看法。主要是在測度論和實分析那一套理論下，f(x)可積當且僅當｜f(x)｜可積，所以很自然定義期望的時候，要求X絕對可積(注意到隨機變數X本身是乙個Borel可測函式)。
2樓：姬雲澗
如果某個級數，例如 ，只是條件收斂，而其絕對值構成的級數 並不收斂，則將這個級數的各項次序改排以後，可以使它變得不收斂，或者使它收斂而其和等於事先任意指定的值。這就意味著E(X)= 值的存在與否和值的大小，與隨機變數X所取的值的排列次序有關。而E(X)作為刻畫X的某種特性的數值，有其客觀意義，不應與其值的認為排列次序有關，所以，在定義E(x)時，我們要求它絕對收斂。
《概率論與數理統計》——陳希孺原文
關於為什麼可以收斂於任意指定數值，涉及Riemman Rearrangement Theorem.
我們看wiki給的例子（For more details please refer to https://
en.wikipedia.org/wiki/R
iemann_series_theorem
As an example, the series 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 + ... converges to 0 (for a sufficiently large number of terms, the partial sum gets arbitrarily near to 0); but replacing all terms with their absolute values gives 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... , which sums to infinity.
Thus the original series is conditionally convergent, and can be rearranged (by taking the first two positive terms followed by the first negative term, followed by the next two positive terms and then the next negative term, etc.) to give a series that converges to a different sum: 1 + 1/2 – 1 + 1/3 + 1/4 – 1/2 + ...
=ln2. More generally, using this procedure withppositives followed byqnegatives gives the sum ln(p/q). Other rearrangements give other finite sums or do not converge to any sum.
3樓：vvnw
Why do we require absolute convergence in the definition of expectation?
鏈結在上面裡面有個3贊的回答（懶得翻譯○|￣|_）
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