1樓：jmke
這模擬較初等的概念的引入，一般來講實用意義都挺強的。我就舉乙個我最近遇到的乙個問題。我會盡量講得簡單並且翻譯成數學分析的的語言。
比如我們現在要做隨機逼近，那麼我們就有一列趨於0的隨機變數，我們要判斷他們的均方誤差是否收斂到0。
翻譯一下就是我們有一列函式族，我們知道它的極限0。那麼我們想知道它在全空間的積分是不是也是趨於0的。
很容易我們發現，單單是函式族收斂是遠無法得到積分收斂的。畢竟我們考慮的是每乙個時刻的全域性性質。雖然每乙個區域性都會各自收斂，但是由於大家收斂得不一致，仍然很有可能出現在每乙個時刻都會出現某乙個區域性不和諧導致全域性性質受影響。
如果還不理解那我就再舉乙個超級形象的例子。
假設有這麼悲慘的一家人，這家人有一種奇怪的遺傳病，每一代人都會在出生到20歲得病，然後全家為了這個病傾家蕩產。但是過了20歲你就不會得這個病了。
是的，從每個個體而言，大家都會有活過20歲的時候。過了那個年紀你就不會得這個病。所以我們看每乙個個體，誒這還是好的，這個病終將過去不會伴隨終生。
可我們看這個家庭，我們發現，這個家庭可以說永無出頭之日。你病好了，你兒子得病。你還是要因為這個病把褲子給得賠掉。
這個病對家庭的影響是整體性的，這時候每個區域性的終將好轉就顯得意義不大。反正這個家庭的悲慘不會終結。
2樓：旭-ASAHI
來自非數學專業的強答，若有錯漏敬望海涵。
考慮定義在 上的全體連續函式，構成乙個函式空間 ，不難驗證 等價於 作為 中元素在Chebyshev度量
下收斂於極限 。逐點收斂的語境下，函式代表著實數域中的兩個點集，點集內部點與點的聯絡是孤立的。而在一致收斂的語境下，函式本身就代表著乙個函式空間中的點（或者向量）。
聯想連續和一致連續的差別，不難得到結論：逐點收斂只是區域性性質的鬆散結合，而一致收斂則表現了函式列的整體性質。
3樓：三川啦啦啦
數學分析在講一致收斂的時候，一定會遇到乙個重要的定理：
若函式項級數每一項皆連續，且一致收斂，則和函式連續.如果不用一致收斂這個基本的概念，那麼我們對和函式的各種操作都無從談起，畢竟數學分析研究的基本物件是連續函式. 另外這個定理的逆否命題是有力量的證明工具：
和函式不連續，或者某一項不連續，或者不一致收斂. 所以一致收斂這個概念本身與連續性密切相關.
一致收斂從它的定義可以看出，自變數的選擇與 n 趨向於無窮的過程中數列收斂無關，總可以被相同的 所控制，這體現了自變數 對和函式變化的溫和性，所以得到和函式連續是比較直觀的結論. 關於一致收斂保證了若干運算的交換性，就不廢話其重要性了，其實都可以模擬為連續函式的二重極限的可交換性.
另外一致收斂在數學分析階段就體現出泛函分析的思想，這體現了如何描述在無窮維函式空間 中使用確界範數描述其中元素的收斂性（收斂的函式列被視為 Cauchy 點列），而後在實變函式、泛函分析中我們會看到確界範數的重要性，他對連續函式空間的刻畫是本質的. 如果換成其他範數，比如 範數，那麼此範數對於函式在一點的取值沒有依賴性，而只取決於這一點附近的平均性態. 詳情請看 Stein 的實分析.
一些淺薄的看法，請大家多多指教.
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