1樓：Charles
額。。。
比較直觀的理解可以是這樣的，如果你求定積分：
顯然求的是曲線 (x>1)下方的面積，而 你可以看作是無數個 的矩形面積之和，畫個圖你會發現這些矩形的面積顯然大於曲線 (x>1)下方的面積（因為 在第一象限單調減）。
2樓：小茶
數學系大一新生悠悠飄過……
首先得弄清楚，在數學分析的體系建立過程中，證明調和級數的發散性遠早於導數，定積分以至後來的澤塔函式，那麼用這些後來的知識證明前人的成果總是讓人覺得很奇怪的。
3樓：防認出姓名
這個下限從到1開始取，找lower bound就是積分一到正無窮1/x關於x，lnx不收斂所以這個sigma表示的和不收斂。。。那個章節的典型例題。。。
4樓：Breeeezes
雖然當n趨於無窮時，1/n趨於零很容易理解為它是收斂的我們可以從下面這個角度考慮
這種思想在競賽中也可能用到
也可以看看寶刀君的進化之道給出的都一樣
5樓：謫詩人
通過達朗貝爾判別法知道，這個級數第n項和第n+1項之比設為a,再取n趨於無窮，得到的結果是1，但這不能判斷它的斂散性。然後咱們用高斯判別法，將a寫成1+μ/n+0(1/n)這種形式，其中，μ為常數，後面那項為高階無窮小，可以不用管它，只有μ﹥1，則級數絕對收斂。很明顯(n+1)/n=1+1/n，μ=1，所以級數發散。
6樓：啊旺
這個，最簡單的方法不就是把分母全部看成n，那麼1/n+…n/n等於（1+n）/2，這個式子就不收斂。
而原式＞為n為分母的式子，所以原式更不可能收斂→_→
7樓：Snow
這個問題，昨天讓我迷惑的很。今天終於懂了。
明確一件事，數列有極限為0只是相應級數收斂的必要條件。關於充分性很容易舉出反例，如數e的展開式。
調和級數是正項的，具有單調性。很容易讓人聯想到單調有界定理。可是Σ1/n並沒有上界。這一點可以借助不等式得出。
我依次以n=2^k取該級數的n到2n-1項之和，如此取k項。容易得出第k'部分的和大於1/2，故k部分之和大於k/2，隨著k趨於無窮，k/2不存在有限極限。故該級數無上界，發散。以上
8樓：索拉利之陽
很多人都沒看出答主的疑問所在，答主簡單地認為數列極限是零等價於級數極限存在。這不是舉乙個反例就能打消的疑惑。事實上要求對於任意的aipusen大於0，存在整數N大於P大於0，使得aP加（aP加1）加點點點加到aN小於aipusen，這時候級數極限才存在。
也就是說單單只要求數列相鄰兩項無限接近是不夠的，當n足夠大時，必須要求部分和數列足夠接近。。
9樓：陌染
\frac}\\" eeimg="1"/>
\frac}\\ " eeimg="1"/>
\frac}\\ " eeimg="1"/>
10樓：Noahsmorale
然後考慮這個式子的乙個發散積分：
這裡 是乙個實數，現在積分號內的表示式可以認為是乙個等比數列：
現在把求和代入，然後我們把積分塞進求和號內：
然後在 時會出現乙個對數，同時和上面一樣引入乙個極限，這樣子可以計算出：
注意上下的兩個 都是一件事情，代表積分上限，接下來求和從2開始時修改通項，此時可以寫成：
然後再移項，把兩個對數作差可以剛好消去 ，因為在這個極限下減去1沒什麼大礙，得到：
沒錯，我們就是算個半天為了整出這個級數，好了關鍵的一步來了，現在取極限：
證畢，同時可見漸進行為上和對數有不少關係。
11樓：Hadesth
這裡講兩種比較簡單的證明方法1+\frac" eeimg="1"/>
當 時， 1+\frac=+\infty" eeimg="1"/>根據上圖，我們可以得到不等式
取 通過上面的這個不等式，我們可以發現調和級數發散極其緩慢。
Tips：
此處令當 時，我們可以得到尤拉常數
12樓：煙嵐ww
之前看過乙個不錯的證法
先不管1
後面乙個1/2
再後面1/3+1/4縮為2*1/4＝1/2再後面1/5+1/6+1/7+1/8縮為4*1/8＝1/2以此類推，後面是無數個1/2相加，自然不收斂
13樓：予一人
只能說你的直覺在這個問題上出錯了，因為存在這樣一些正序列 ，儘管通項 隨著 的無限增大、越來越小地趨於零，但和 （雖然增長速度可能極其緩慢）卻可以任意地大。
如果你覺得當前問題不便處理，你可以先來考察乙個簡單的。比如這樣的 顯然 但是對於它的前 項和來說，通過簡單的不等式放縮，可以得到
這表明 很顯然，右端隨著 的不斷增大是可以增長到任意大的，那麼左端比它還要大，自然也可以任意地大，也就不會趨於任何定值。
對於當前的 也是如此，事實上可以證明 為了證得這個事實，我們同樣考慮從最基本的事實入手。首先，我們知道 取對數後就是 將這個式子以 為指標從 到 作和，就得 由於右端可以任意地大，於是左端也是可以增長到任意大的。
14樓：TravorLZH
其中第一象限的曲線為
假如級數 收斂，則所有（包括省略的）長方形面積加在一起收斂，這意味著面積比它小的陰影部分面積也收斂。陰影面積可以用以下瑕積分表示：
於是發現矛盾，所以調和級數不收斂
Q.E.D.
15樓：李航
以下判別方法多用於考研證明:
首先正項級數擁有比較判別法，
即兩個正項級數∑Un和∑Vn，如果從某項起，Un≤Vn，則若∑Un發散，∑Vn也發散
那麼構造這樣乙個式子
Un＝ln(1+1/n) 由拉格朗日中值定理知，ln(1+1/n)＝ln((n＋1)/n)＝ln(n＋1)－ln n ＝1/ξ n＜ ξ＜n＋1
所以1/ξ＝ln(1+1/n)＜1/n
所以 ∑1/n＞∑ln(1+1/n)
又∑ln(1+1/n)＝ln(1+1)+ln(1+1/2)＋ln(1+1/3ln(1+1/n)
＝ln ［2 × 3/2 × 4/3n＋1)/n］＝ln (n＋1) ＝∞
故∑Un不收斂，且Un恆小於Vn
故∑Vn不收斂
16樓：thoust
Jack這個答案牛B，∑ (1/n) 為何不收斂？ - jack的回答 - 知乎 https://www.
17樓：冼振華
因為這個調和級數。如下
1＝11/2+1/3 ＝5/6＞1/2
1/4+1/5+1/6+1/7 ＝638/840＞1/21/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15＝ ？可以自己算一下。你把這個級數分別取1，2，4，8項相加的結果，發現都是大於1/2，那縮小一下，無窮個1/2相加，不是等於無窮大麼？
所以不收斂。這是比較粗略的證明。
18樓：Nemo China Gao
這裡替題主強調一下，人家問的是為什麼求和裡加的數越來越小，甚至小到0，但是和卻是發散的，而不是要證明為什麼不收斂。這裡稍微舉兩個栗子。
就說兩個調和級數吧。
乙個是題主問的，自然數倒數之和，在此就不獻醜了，很多答主都證明了，這個級數不收斂。
另乙個是乙個也是常見的級數。
/sum(1/2^n) ，n=0～inf
也就是1+1/2+1/4+1/8……（從1開始方便對比），顯然它等於2-2^n，隨著n的增加收斂與2。
對比一下可以發現，自然數的倒數和雖然也逐漸趨近於0，但是其下降的速度並沒有冪函式快。事實上，從第三項起，1/4>1/3，每一項都大於冪函式的倒數。
它不收斂的主要原因在於雖然每一項是無窮小（趨近於0），但是總量也是無窮個啊，無窮個無窮小只和不一定是多少，這一點在今後極限的部分就會學到了（手動洛必達）。
19樓：苟投雄 Robert
可以用高中積分的思想來暴力證明
注意到：
所以：然而我們只對當 時感興趣。我們想求 而不是 。所以由上面的思路走下去，就有了乙個夾逼的不等式（充分利用到積分的幾何性質）：
這樣一來：
\sum_ [\ln (x+1) - \ln x] \\ &=\ln (x+1) - \ln 0 \\ &=\ln(x+1) \rightarrow +\infty \end\\" eeimg="1"/>
畫個拙劣的圖：
Geogebra沙雕繪圖：用這個圖應該可以理解一下夾逼的道理吧，如果你看不懂，那就是圖沒畫好。
有什麼問題求大佬們趕快指出來我好改正，我好害怕被噴的，我只是個剛畢業的數學不好的高中生而已。
20樓：Dante
乙個簡單的積分判別法
將 近似視為小長方形的面積和，如果小長方形的面積收斂，那這個調和級數也一定收斂。
小長方形的和可以用積分 表示
解這個積分等於
小長方形面積發散，則級數發散
21樓：master
收斂需要它無限接近乙個有限的大小的數，這個數要非常精確，以至於這個數變動稍微一點都不是不可以達到的。很明顯，這個精確到收斂數是找不見的
22樓：irons
那我就從積分的角度給你分析一下吧
補充一下，積分的幾何意義為該曲線所圍成的圖形面積，該圖形所圍成的面積正好等於該函式（數列）它的和函式（值）。
23樓：阿凡提
題主認為當n趨向無窮大時1/n會趨於無窮小，則數列的和會趨於乙個定值。但是題主只關注了數列1/n的極限，而非級數∑(1/n)的極限。須知，無窮小之無窮和未必為無窮小。
24樓：DaWNHaWK
我總覺得這個問題真正問的是：調和級數不收斂，有什麼深層次的原因嗎？
雖然我不知道更深層次的原因了，但我至少知道，黎曼Zeta函式，當s大於1，哪怕是1.0000000000000001級數也是收斂的。所以調和級數可以說是在「收斂的邊緣」。
至於為什麼可以找到乙個「收斂邊緣的」確定的級數？這就得數學系同學回答了。。。
25樓：da32s1da
令。求導，
所以 單調增加，且有 。
那麼對於 ，有 。
然後我們令 ，得到 。
對 的所有 ，求和，得到
變形，得到
最後得到
這當然是不收斂的啦~
26樓：1h1h1h
積分證明。
1) n<=x2)上述不等式[n,n+1]積分，1/(n+1)<1/x在[n,n+1]的積分<=1/n
3)上述不等式求和，∑1/(n+1)<1/x在[1,n+1]的積分<=1/n
4)∑1/(n+1) 27樓：emmmmmm 因為有個很顯然的放縮如下，對任意k屬於N*有： （1/k）+（1/k+1）+…+（1/2k）>k/2k=1/2在無窮的情況下，我總能找到任意多個k滿足以上放縮（嚴格來說，這裡不是很嚴謹）。那麼很顯然，對於任意S屬於R+，都可以找若干個k加起來（比如m個，m可以隨意取正整數值，取值可以根據S的大小調整）使得mk>S。 這就已經符合無窮大的定義了（即任意給乙個正數，都比mk小，那麼我們稱mk是無窮大） 麻之瓜 先說結論,可以.無妨設 此時只要證明 使得 線性無關即可.反證法,假設 均有 線性相關,則 均可由 線性表示.又注意到 可由 表示,從而 可由 線性表示,此與 為一組基矛盾.同理 1 eeimg 1 時亦成立. 上官正申 可以的，將這 個向量張成的空間記為 則第二基矢中必然有 個向量 實際上... 石星 有n個人 此處n顯然是乙個十進位制的數 用拋硬幣來選擇,硬幣只有兩種狀態,不妨記為0和1,用0和1來表示乙個十進位制數?這不就是非常顯然的把十進位制數轉換為二進位制就完美解決問題了嗎? 0xDEADBEEF 拋 ln n ln 2 1次，正面記1，反面記0，寫成二進位制數，轉化為10進製數k，... 卯金刀 雖然拜仁在德國的影響力是很大，遠超過其他球隊，但是說德國1 N，至少在戰績上不能形容最近的德甲。只能說po主以主觀印象絕對了對聯賽的判斷。任何地方當然需要啟用和競爭才能保持生命力，不然就是小富即安不思進取的節奏了。 國家隊的繁榮和聯賽是有一些聯絡的，不是在反駁樓上幾位的觀點，他們的我也是有些...n維線性空間兩組基 1 n和 1 n ，是否可以在 中選s個和在 中選n s個構成一組新基？
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英超（4 N）西甲（2 N）德甲（1 N）的聯賽球隊結構，哪種更利於國家隊成績？哪種更有利於聯賽繁榮？