1樓：安安小小姐姐
四個點，都是隨機的，可以數數。
2樓：武辰
前些天有人以500元懸賞此題，我給出了答案。後來懸賞人表示此題在上世紀已有解答，於是作廢懸賞。
當時的題目是：n隻鳥隨機出現在球內，求這些鳥出現在同乙個半球的概率。
武辰：一道機器學習崗位面試題：求圓上任取三個點組成銳角三角形的概率
下面是我當時給的解答。
第一步：定義乙隻鳥a的領地：作點a關於球心的對稱點a'，然後連線a和a'，作aa'的中垂面。這個中垂面會把球分為兩個半球，a所在的半球定義為a的領地。
第二步：由於對稱性，對每個鳥都作出關於球心的對稱點。這樣一共有2n個點。
這樣，問題從「在球內隨機取n個點」轉為：在2n個點中取n個點，其中對於每個鳥和它的對稱點，只能選乙個出來。這樣一共有種選法。
這一步的轉換的確不是那麼好理解，可以先往下看。
第三步：乙個簡單又有趣的事實是：如果你出現在了我的領地，那麼我肯定也出現在你的領地。在這個事實的基礎上，我們可以推出：n個鳥在同一半球，等價於它們的領地有公共交集。
第四步：最抽象的一步。在種選法中，有多少種選法，使得選出來的n個鳥的領地有公共交集？
為了便於理解，我們可以從二維的情況入手。在二維中，我們同樣可以定義乙個鴨子（2023年8月26日註：乙個鴨子即乙個點，這牽扯到另一道題，我後面會提到）的領地，即作鴨子b關於圓心的對稱點b'，然後連線bb'，bb'的中垂線（即直徑）把圓分為兩個部分，b所在的半圓就是b的領地。
另外，我們定義那條直徑為鴨子b的「領土分割線」。
我們昨天懸賞的題目是四個鴨子（2023年8月26日註：四個鴨子的題是指：圓內隨機出現四個鴨子，那麼四個鴨子位於用乙個半圓的概率是多少？
答案是0.5），那麼四個鴨子分別對應著四個領地和四條「領土分割線」。經過簡單的列舉，我們發現，四條領土分割線把圓分為了8個部分，每個部分一一對應於乙個交集，這個交集是什麼？
是所有領土的公共交集。
因此，回到三維的情況。我們同樣定義鳥的「領土分割線」，這個領土分割線就是中垂面與球的交線，也就是那個圓。n個鳥的領地中，一共有多少個不同的交集呢？
這等價於n條領土分割線把球面分割成多少個部分。這個可以直接套結論，或者數學歸納法，求得是 個部分。（你可以簡單地驗證下這個結論。
n=1時，乙個圓把球面分為兩部分；n=2時，兩個圓把球面分為4部分。）
第五步：在種選法中，一共有 種選法是存在交集的。因此概率是 。
（2023年8月28日註：有很多朋友反映n=3時，這個概率為1。這是沒毛病的，因為任何三個點肯定在同乙個半球。正如圓內任何兩個點肯定在同乙個半圓。）
乙個經過了降維打擊的類似的題目：
在乙個圓裡隨機取n個點，它們在同乙個半圓的概率是多少？
在乙個圓裡隨機取n個點，它們在同乙個半圓的概率是多少？
3樓：十一太保念技校
這個問題相當於給定乙個oriented matroid，有多少種reorientation的方法使得OM acyclic。容易想到，對於每個tope，都可以reorient把tope變成 。那麼有多少個tope就有多少種reorientation的方法。
所以答案就是
4樓：Cc jiaowo
上面涉及了球面上n個大圓對球面的分割數f(n)=n^2－n+2，可以想象球面上任意兩個大圓都相交於兩點。數學歸納法n=1時顯然，設n=k時成立，當n=k+1時，正常情況下第k+1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點產生2k段弧使球面上增加2k個新小塊，於是f(k+1)=f(k)+2k=k^2-k+2+2k=(k+1)^2-(k+1)+2。上面的解法說實話蠻難想象的，需要體會一下。
在乙個圓裡隨機取n個點，它們在同乙個半圓的概率是多少？
白小丹 s 假設是在單位圓周上 不用考慮整個圓，可以把點投影到圓周上 n點共乙個半圓，先排除掉有兩個點在同乙個位置的情況，因為這個概率是0。我們可以通過轉動，使這些點全在上半區間，而第乙個點落在角度為0也就是x的正半軸。根據對稱性，我們假設這個點是x1，那麼情況就變成了，隨便放x1，把圓轉到使x1在...
n維空間內有n 1個點，是否存在乙個點P，使得P到這些點的距離相等？
謎之槍兵X 如果這些點任意三點不共線，任意四點不共面，以此類推，那麼總存在這樣的唯一乙個外心。否則，外心要麼不存在，要麼有無窮多個。任意兩點的中垂面不難用點法式列出，n 1 個點列出n個方程再聯立即可求出。具體求解晚些再寫。以下用粗斜體小寫字母 如 表示向量，用粗斜體大寫字母 如 表示矩陣，用斜體小...
圓周上乙個點轉動 n 個弧度（n 為一切自然數），就得到圓周上許多點，試求得到的點集的所有極限點？
已登出 不確定我是不是理解了題意 考慮 r 為乙個無理數，證明存在 pq 整數使得 p qr 足夠接近0 如果並不足夠接近0，那麼存在 a br 正數上最小和 c dr 負數上最大，相加後證偽了考慮 x 證明存在 p qr x 足夠接近0如果不存在，那麼存在 P qr x 在正數上極小大於 m 負數...