1樓：雪無心
我們暫且先解釋一下圓和整點的情況。注意到我們只需要在平面上找出乙個點，使得其到各個整點的距離兩兩不同，然後以這個點作一族同心圓即可。
我們可以給出這樣子的點的例子，事實上我們取（1，\sqrt）即可（驗證留作習題）。
實際上我們可以更進一步。給定平面上的可數點集（當然這個點集不能是稠密的，否則圓包進去的點的數量是無窮），存在圓使其內部恰有N個集合中的點（N為給定的正整數）。
做法也是找出乙個點畫同心圓。為了防止半徑擴大時圓同時掃過兩個及以上的點，我們選的點需要避開任意兩個點的垂直平分線。因為這些垂直平分線的集合至多可數，所以平面上去掉這些線段後不會為空集（留作習題）。
可能以後會來補充任意曲線時的情況……
2樓：chenlan
取圓心為( )
對任意兩個整點( ), ()，若兩者到圓心距離相同，則有即 顯然m，n等於0，即整點( ), ()為同乙個點。
既然每個整點到圓心距離不同，就可以根據整點到圓心的距離從小到大進行排序，只要半徑在距離第N遠與第N+1遠之間，就可以保證圓內只有N個點。
對任意平面封閉曲線的話，拉伸的定義比較模糊，如果是指以某一幾何意義上的中心進行縮放的話，也可以用這種思路，選定乙個點作為曲線的縮放中心，然後計算每個整點正好處於該曲線縮放所得曲線上時的縮放係數，只要這個縮放係數可以保證任意兩個整點對應的係數不同就可以了。理論上而言，整點有可數個，而縮放中心的可選點不可數，應該都能找到這樣的點
小於正整數n且與n互質的正整數之和是多少？
小雨可白 先說結論 首先，有乙個顯而易見的結論 即 這個結論的證明留在最後 那麼當 與 互質時 其中 便有 與 互質即 小於 且與 互質的數共有 個 其中 那麼令這些按從小到大的順序分別為 將其雙雙組合為 此時 根據最初提到的結論，容易發現對於任意的自然數 有 去重之後，這樣的 共有 個 故 對於 ...
能否找到最大的f n ，使得在前n個正整數的任意排列中，總存在長度至少為f n 的單調子列？
Snakes 若存在長度不小於 的單增子序列則得證 若不存在長度不小於 的單增子序列，則排列中任意單增子序列長度子串行不大於 單增子序列個數至少為 根據 Dilworth 定理可知最長單減子串行長度不小於 對於任意 下界似乎都可以通過構造取得。 曉生 反過來說，總有長為n 1的單調子列的1 g n ...
對於任意正整數n，是否一定存在正整數a,p,b,q，p,q 1,b 1，滿足n a p b q？
嘗試用Mathematica來搜尋，先只考察底數在 以內 指數在 以內的全體方冪數 A Table a b,Flatten 對A裡面的方冪數兩兩作差 B DeleteCases Flatten Table If a b 0,0 1 0 DD B 3 Flatten Union 由此可以很快的搜尋出一...