1樓：「已登出」
不確定我是不是理解了題意
考慮 r 為乙個無理數，證明存在 pq 整數使得 p-qr 足夠接近0
如果並不足夠接近0，那麼存在
a-br 正數上最小和 c-dr 負數上最大，相加後證偽了考慮 x ，證明存在 p-qr -x 足夠接近0如果不存在，那麼存在
P-qr-x 在正數上極小大於 m 負數上極大小於 -m存在 a -br \in (-m,m)
然後加起來證偽
2樓：
這是乙個很有趣的問題，它有初等解法，它的乙個加強，等度分布定理：https://
en.m.wikipedia.
org/wiki/Equidistribution_theorem則更加有意思。我覺得這是乙個不錯的機會去了解一下動力系統的乙個分支，遍歷理論。這兩個問題都很有遍歷論的風格。
用一下遍歷論的術語，我們有：
令T=旋轉pi的無理倍數，則T具有遍歷性質。
T的遍歷性加上Birhkoff遍歷定理就可以得到S^1上的等度分布定理，作為推論得到對任意x，x的軌道在S^1上稠密。
3樓：DTSIo Shao
通過一點簡單的分析工具(Borel測度的Fourier級數), 能推出的結論比"稠密"還要強一些. 能夠得出的結論實際上是遍歷性.
把認同為, 不區分彼此相差的點. 固定點. 設與不可公度. 命,
,這裡是區間內屬於集合的點的個數. 顯然是遞增的階梯函式, 且序列具有一致有界的變差. 定義Borel測度, 則它們是一族Borel概率測度. 易見
.於是通過直接計算, 立即可算出Fourier係數
對於固定的非零整數, 當趨於無窮時, 由於 和 不可公度, 可見上述和式趨於零(由簡單的等比數列求和就知道了). 由於三角多項式在連續函式空間中稠密, 可見Borel測度序列弱收斂到某個Bore概率l測度. 由上面的極限關係式立刻知道對所有非零整數, .
於是實際上就是Lebesgue測度. 根據弱收斂的性質即得到: 對於任何, 都有
換句話說,序列中那些落在弧上的點的個數佔序列的比例漸近等價於弧長佔圓周的比例.
4樓：
可以從連分數的角度考慮，先證明是乙個極限點。詳細見下：
Convergent subsequence of $\sin n$
5樓：
其實這題有很初等的證明。我們需要乙個引理：如果是無理數，那麼在上稠密。
這裡的大括號指小數部分。證明很簡單，用抽屜原理即可，可參見樓上森林提到的Ivan Niven那本書。這引理也是Baby Rudin上的一道習題。
考慮，由我們的引理，在上稠密。所以在弧度制中是在上稠密的。證畢。
6樓：舒自均
這個結論實際上和有理逼近有關。稍稍猜測一下也知道肯定能任意接近圓上任意一點，說明這一點也十分容易。
假設是乙個人在單位圓上，每一步走的長度是1，因為圓周率是個無理數，所以他不可能走到他走過的地方。
先讓他繞著圓轉一整圈，那麼最後一步一定會落在他第乙個腳印和第二個之間，不妨假設他離第乙個腳印比較近。
把前面走的路打包一下，剛才的走法就可以視作新的"一步"，這一步顯然會比原來的步長縮短一半以上
然後用這個步長重新再走一圈，重複類似的過程，又打包過一次的步長又會減半，反覆操作下，步長可以任意小，所以當然就可以任意接近圓上的某個特定點了。
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可以直接解通項，先佔一坑。爪機打公式不方便望見諒。題主已經得出了 E n E 1 E 2 E 3 E n 1 n 1 這樣的遞推關係，分母是 n 還是 n 1 不再深究。令 S 為 E 的字首和，即 S n E 1E n 即可得S n S n 1 S n 1 n 1S n S n 1 n 1 n 1...