1樓：白小丹's
假設是在單位圓周上（不用考慮整個圓，可以把點投影到圓周上），n點共乙個半圓，先排除掉有兩個點在同乙個位置的情況，因為這個概率是0。我們可以通過轉動，使這些點全在上半區間，而第乙個點落在角度為0也就是x的正半軸。根據對稱性，我們假設這個點是x1，那麼情況就變成了，隨便放x1，把圓轉到使x1在x正半軸，剩下每個點都要在上半區間，概率就是1/2^(n-1)。
由於每個店都有可能成為第乙個點，所以一共有n種情況，而且這些情況互斥，於是總概率為n/2^(n-1)
2樓：楊天真
先規定個方向，比如順時針，最靠前的點決定了剩下的半圓是哪個半圓，第乙個點可以隨便落，剩下的n-1個點就只能在決定好的半圓裡面落下去，這樣的乙個結果是1/2^(n-1)；然後呢最靠前的點（也就是前面所謂的第乙個點）可是n個點裡面的任意點，所以有n個選擇乘上去得結果。
3樓：MrHe
這個問題等價於「在乙個圓環上隨機取 個點，它們在同乙個半圓弧的概率是多少」，這裡提供乙個較易理解的解答。我們只考慮 的情況。
假設乙個圓環上等間距地分布著 個位置，現在要在這 個位置中放置 個點，易知一共有 種放置方案，此為所求概率的分母項。
現在考慮 個點處於乙個半圓內，即相離最遠兩點間隔小於 的情況（我們假設 為整數）。我們首先放置 個點中相離最遠的兩個點，記為 和 。假設 處於 的逆時針方向，考慮以下若干情況：
若 和 距離為0（重合），先考慮 ，該點從 個點中抽取，一共有 種擺放位置，則一共有 種可能。接下來是 ，該點從剩下的 個點中抽取，一共有 種可能。剩下 個點均只有一種擺放位置。
這種情況的可能數為 。
若 和 距離為1，先考慮 ，該點從 個點中抽取，一共有 種擺放位置，則一共有 種可能。接下來是 ，該點從 個點中抽取，一共有 種可能。剩下 個點每個點有兩種擺放位置。
這種情況的可能數為 。
以此類推，點 和 距離最遠為 。這種情況對應的可能數為。
綜上，總可能數為 ，易得概率為 。對該式求 的極限，即可得題中的概率， 。
這種解法還可以用來解決類似「在乙個圓環上隨機取 個點，它們在同乙個長度為的圓弧的概率是多少」的問題。
4樓：武辰
前幾天知乎出現了這樣一道題：在乙個球內任取n個點，則這n個點落在同乙個半球內的概率是多少？
在乙個球內任取n個點，則這n個點落在同乙個半球內的概率是多少？
現在這道題應該比上面的題目簡單，畢竟經過了降維打擊。
第一步，把圓看作乙個池塘，把點看成鴨子。定義乙隻鴨子的領地：作鴨子b關於圓心的對稱點b'，然後連線bb'，bb'的中垂線（即直徑）把圓分為兩個部分，b所在的半圓就是b的領地。
另外，我們定義那條直徑為鴨子b的「領土分割線」。
第二步：由於對稱性，對每只鴨子都作出關於圓心的對稱點。這樣一共有2n個點。
這樣，問題可以從「在圓內隨機取n個點」轉為：在2n個點中取n個點，其中對於每只鴨子和它的對稱點，只能選乙個出來。這樣一共有種選法。
第三步：乙個簡單又有趣的事實是：如果你出現在了我的領地，那麼我肯定也出現在你的領地。在這個事實的基礎上，我們可以推出：n只鴨子在同一半球，等價於它們的領地有公共交集。
第四步：最抽象的一步。在種選法中，有多少種選法，使得選出來的n只鴨子的領地有公共交集？
我們知道，n只鴨子分別對應著n個領地和n條「領土分割線」。簡單起見，可以拿n=3的情況舉例：三條領土分割線把圓分為了6個部分，每個部分一一對應於乙個交集，這個交集是什麼？
是所有領土的公共交集。那麼一般地，n只鴨子的n條領土分割線，把圓分成了2n段，其中每一段一一對應於乙個交集，即n只鴨子的領地有公共交集的情況。
補充乙個粗糙的圖示：A、B、C是三隻鴨子。橙色直徑是鴨子A的領土分割線，橙色圓弧所在的半圓是鴨子A的領地。
鴨子B對應的是金黃色，鴨子C對應的是綠色。三隻鴨子的領土有乙個公共交集，就是藍色圓弧圍城的扇形。
事實上，ABC三隻鴨子這樣的排位只是其中一種情況（比如，我可以選擇AB兩隻鴨子，第三隻鴨子不選擇點C，而選擇點C關於圓心的對稱點）。橙色、黃色、綠色領土分割線把圓分為了六個部分，每個部分都一一對應一種公共交集的情況。
第五步：在種選法中，一共有2n選法是存在交集的。因此概率是。
5樓：wangjizhongplot
這道題不能想的太複雜，我們把乙個半圓放在乙個圓上，無論怎樣轉動，其實面積半圓和剩餘半圓面積都一樣。
所以你取乙個點，落下兩個部分的概率都是1/2。接下來就是高中組合的問題了，
所以是2* （1/2）^ n
在乙個球內任取n個點，則這n個點落在同乙個半球內的概率是多少？
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