1樓：銀錘斯汀
--update1
分別設三個圓的半徑為
易知如果固定較小圓上的兩個定點（不妨設為A，B），則大圓上的點C是過O點垂直AB與大圓的交點中的乙個……這樣的話可以列舉大圓的的弦，且該弦與圓心距離d小於最小圓半徑的弦，則這條弦與較小兩個圓有一共4個交點（每個較小圓各2個），很顯然取最長的那一條（由於對稱性顯然，而且長度可以根據弦長計算出來，並不需要解方程），然後就變成固定弦怎麼取內接三角形面積最大（也是顯然……）。
三角形的情況就愉快的解決了……
有圖有真相
擴充套件情況容我繼續腦洞
------原答案
乙個腦洞，不一定對
分成三個小三角形的面積和，每個三角型的兩條邊是固定的（同心圓的半徑），然後變成三角函式的極值問題
2樓：Richard Xu
設圓心角為α1，α2，α3，和為2π
則三角形面積是S=1/2(R1R2sinα3+R2R3sinα1+R3R1sinα2)
對α1和α2求導
1/2R2R3cosα1-1/2R1R2cosα3=0
1/2R3R1cosα2-1/2R1R2cosα3=0
R3cosα1=R1cosα3
R3cosα2=R2cosα3
即cosα1/R1=cosα2/R2=cosα3/R3
注意到如果三個角的cos值均大於零，則和至多為3π/2
故三個角都是鈍角
令上式=k，和差化積
kR3=kR1*kR2-sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)
sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)=k^2R1R2-kR3
(1-k^2R1^2)(1-k^2R2^2)=(k^2R1R2-kR3)^2
2R1R2R3 * k^3 - (R1^2+R2^2+R3^2) k^2 + 1 = 0
注意到k趨於負無窮時左式為負無窮，k=0時為1，所以必有負解。
求導得6R1R2R3k^2-2(R1^2+R2^2+R3^2)k=0
k1=0 k2=(R1^2+R2^2+R3^2)/3R1R2R3，0是極大值，故負解唯一。
以上是n=3的情況。
update:
某一位匿名使用者的回答很讚啊，用調整法，則O到一點的半徑一定垂直於相鄰兩條半徑的末端的連線：
1. 在三角形的情況下O一定是垂心。
2. 在四邊形的情況下四個內角都是90度，所以四邊形面積最大值是1/2(R1+R4)(R2+R3)。
n>=5待更
3樓：Irene Adler
注意到圓的半徑是不變的。把三個小三角形的面積用半徑以及半徑之間的夾角表示（公式
1/2absina)，目標是使大三角形面積達到最大，而三個夾角加起來等於360°。
條件極值問題，自己解。
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