1樓：
題主問題是Problems in Analytic Number Theory（M. Ram Murty）習題5.5.5。
放乙個有趣的小結論
這個二重和式可推廣成：
2樓：
比證明更重要的是怎麼去理解這個特殊的數！一種角度是Riemann
而這個和巧合就是 : 就是 -function 的特殊值。
3樓：瑜書
前幾天思考另外乙個問題的時候發現了乙個絕妙的證明，現在過來強答一波。首先考慮兩個數列：
注意到以及 顯然 是收斂的，設其極限為A，下面考慮 。
注意到 由Riemann-Lebesgue引理，於是 ，從而對（4）式兩邊取極限後有
解出 即
部分公式可參考我下面這篇回答的公式（3）和（8）請問這個極限加上變限積分這種怎麼計算?
4樓：橫山森
乙個比較直觀的證明過程：
注意到 ，利用 的 展開式有：
於是，可以得到 的冪級數展開式。
這裡收斂區間由於逐項積分後收斂半徑不變，並且當 時，根據不等式\sqrt\cdot\sqrt" eeimg="1"/>可知且 級數 收斂，由此知此級數收斂，且當 時級數絕對收斂。
令 ，等式兩邊關於 在 上進行積分得：
.由可知
5樓：Gin
利用Taylor expansion:
所以有:
令 ，即將座標系逆時針旋轉
積分區域為
代入Jacobian Determinant有:
又有:令 ，換元有:
同理可求得:
綜上可得:
6樓：夏草
考慮不等式，
有進而，
借引理，易得
即注意到
由夾逼定理，
證畢.下證引理. 注意到棣莫弗定理，可知考慮 ，根據二項式展開得到正弦 倍角公式為兩邊同時除以 ，令 得
令 得由韋達定理，得證.
7樓：jaffedream
加到200已經初露端倪。
加到104萬多，已經比較精確了。
和PI()^2/6是不是很接近？
當然，VBA算個1000萬次也是小意思。
8樓：Aries
這是著名的巴塞爾問題： ，也是黎曼ζ函式在 處的函式值。其實它在 處的函式值都有跟 有關的精確值，可以通過留數定理一次搞定。
開始計算
令 ，構造正方形圍道：
N為正整數
它在全平面的奇點是 ，其中 為 級極點。
下面計算留數：
考慮到展開式： ，其中 為伯努利數展開式的推導參見：
Aries：請問這四個展開式是怎麼來的？
可以得到：
所以：帶回原式得：
由留數定理：
令 ，上式變為：
解得：當 時便有：
下面證明 ：
記正方形圍道的四條邊分別為（右）、（上）、（左）、（下）在 上，
顯然 在 上有界。
同理， 在 上有界。
在 上，
顯然 在 上有界。
同理， 在 上有界。
綜上， 在 上有界。
故 0" eeimg="1"/>，使得
注意到在 上，
所以而由夾逼準則，
以上內容摘自：
Aries：你絕對從未見過的有關黎曼ζ函式的一堆可愛級數Aries：初三黨搞積日常（2）——從復變角度解決巴塞爾問題（The Basel Problem）
另一種計算方法參見：
Aries：黎曼ζ函式、狄利克雷β函式：ζ（2n）與β（2n+1）的另一種巧妙求法
9樓：
還是看看尤拉的方法吧，尤拉當年把偶數階的zeta函式的值都做出來了。
至於現在學的那些方法，很多都是形式上的推導。用的一些大定理，推完了依舊不覺神奇之處
10樓：曲有奧趣
【官方雙語】巴塞爾問題：著名公式背後的驚人幾何學_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili
可以看看這個，很巧妙的乙個解答。
11樓：陌墨聞
可以用傅利葉變換+帕斯瓦爾定理來做。
假設離散訊號 的離散時間傅利葉變換是 , 那麼根據公式有。
用分部積分設 , 可以得到
.該訊號的能量為 ，也就是兩倍於要算的求和結果。
根據帕斯瓦爾定理, 訊號的能量可以寫成 .
所以求和結果為 .
12樓：
這個經典的問題是數學史上著名的Basel Problem，以大數學家尤拉和數學家家族伯努利家族的故鄉——巴塞爾命名，保守估計得有幾十種證法吧.
定義：在數學上，這是著名的Riemann Zeta Function，去年鬧得沸沸揚揚的黎曼猜想研究的就是它，可惜阿蒂亞爵士已於今年年初逝世，享年90歲.
時，也即這個問題，相對來說是非常簡單的，此時
這個問題保守估計也有幾十種證明方法
巴塞爾問題(Basel problem)的多種解法--怎麼計算$\frac+\frac+\frac+\cdots$ ? - 御阪01034 - 部落格園
這兩個位址都羅列出了不少證法
Martin Aigner和Günter Ziegler寫的那本著名的《Proofs from THE BOOK》（數學天書中的證明）中，數論篇的第8章《三探π^2/6》一文，也給出了幾種巧妙的證法.
我這裡也加一種相對較為初等的證明方法，需要用到微積分中的定積分和冪級數相關知識
我們知道
這個結果可由遞推公式
推出同理由該遞推公式還可推出
於是由於 時
自然有於是，可推導出：
由不等式
推出由夾逼定理可知
此即著名的Wallis公式
從它可推出
令 兩邊再同時對 求導，有
再對兩邊同時求n階導數，由高階導數的Leibniz公式，可得
整理得（ ）
在 時，有
這構成了乙個遞推公式
我們有從而，當 時
而當 時
從而有 的Maclaurin級數為
並且顯然它收斂於自身的Maclaurin級數
所以由於
現在，令 ，
有 由於
由比較判別法的極限形式，可得級數
收斂由Weierstrass優級數判別法可知
函式項級數 一致收斂，從而逐項可積
兩端分別對 求 上的積分從而
13樓：與貓
這個問題太經典了，以至於有很多方法，重積分（Proof frome the book裡有精彩過程，又名數學天書中的證明），傅利葉級數，圍道積分，拆成等比級數（和重積分類似）等等。
介紹乙個含參微分技巧的，頗為精彩。
首先我們令 我們可以判斷 在其定義域內可微。對 進行微分可得顯然 ，得 ， ，由上得到 ，即 ，當然我們已經把 解析式得到了，但實際上對於這個問題我們只在乎 ，對於
剩下的奇偶變換即可得到上面答案了。完
14樓：漏網之魚
可以用傅利葉級數展開證明
函式f(x)=|x|在-π到π區間可以展開為f(x)=兀/2-(π/4)(cosx+1/9*cos^3x+1/25*cos^5x+……)
x=0時，π^2/8=1+1/9+1/25+……設n1=1+1/9+1/25+……=π^2/8n2=1/4+1/16+1/36+……
n=1+1/4+1/9+1/16+…
易知n2=n/4=(n1+n2)/4,則n2=n1/3=π^2/24則n=n1+n2=π^2/6
15樓：張戎
之前寫過這個問題的解答：從調和級數到 Riemann Zeta 函式，摘選一部分放在這裡。
首先，我們回顧一下 Fourier 級數的一些性質：
假設 是乙個關於 的週期函式，i.e. 對於所有的 都成立。那麼函式 的 Fourier 級數就定義為
其中，當 當
定理 1. 如果 在區間 上滿足 Lipschitz 條件，那麼定理 2. Parseval's 恒等式.
其次，下面我們就來證明下列恒等式：
證明：選擇在區間 上的函式 , 並且該函式是關於 的週期函式。
使用 和 的公式，我們可以得到函式 的 Fourier 級數是從定理 1, 令 , 可以得到
因此，假設 可以得到
因此 從 Parserval's 恒等式，我們知道因此
假設 得到因此，
16樓：Tong
我個人認為乙個比較自然的方法是母函式方法。通過母函式方法我們可以求出的值。
考慮由於 有界，故考慮 即可。
下面計算 :
下面用到乙個著名的復分析中的恒等式：
我們可以算出：
接下來我們只需計算 的Taylor展開式，這需要用到Bernoulli數。我們定義：
這裡 。經過計算我們可以得到：
所以我們有：
特別地，
17樓：
在複數域上考慮函式 ， 是以原點為中心，變長為 的正方形。
然後根據留數定理考慮（細節不寫了...)
證明當N趨近與∞左邊極限為0，然後證明為所得。
18樓：
美國數學史家鄧納姆著《The Calculus Gallery :Masterpieces from Newton to Lebesque》在介紹微積分歷程的時候寫到了尤拉的那一章，尤拉用乙個很巧妙的構造方法得到了偶次冪情形的遞推關係，很巧妙，真的是很賞心悅目，可以看看。
記得當時我用這個結論求得了經典控制論根軌跡的乙個推論裡書中沒有列出的結論，具體太久，也記不大清楚了(ω)hiahiahia
19樓：答案搬運工
從Mathematics Stack Exchange搬來的證明。
證明一。
有 令 ，得
虛部對所得到的式子
兩邊積分
令 x=0,
令 於是得即得證
證明二。
對於級數
代入 ，有
令上式等於0，得 。
我們知道對於多項式 的根 滿足如下關係
把 的級數看作多項式，有有
20樓：幻想鄉
作為乙個初中生，我解題的方式只能以初中的方法解答。
sinx=1-x^2/3!+x^4/5!-...
考慮以下方程
a0-a1x^2+a2x^4-....+(-1)^n·anx^2n=0=a0（1-x^2/x1^2)(1-x^2/x2^2)。。。。
其中x1....xn是該方程的正根。
找一下x^2的係數得到
a1=a0（∑1/xn^2）
Euler將兩式進行對比，即得
於是得到了1/6=∑1/n^2π
順便說一句，在sinx的泰勒展開中取x=π/2得到1=π/2∏（4n^2-1/4n^2）該式又可以寫成
π/2=2/1 · 2/3 · 4/3 · 4/5....
21樓：Yuxuan
事實上這個東西可以和圓有關啊qwq
推薦乙個高中生就能看懂的證明，但是不太嚴謹（其實是嚴謹的，但是需要一些高等數學的知識證明），不過特別有意思.
【官方雙語】巴塞爾問題：著名公式背後的驚人幾何學_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili
順便推薦3blue1brown！！！
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