1樓：Anqur
這個問題好像少提供了一些 context, 咱是故意的= =, 隨便給個 context 讓它 hold 是可以的.
最近在看 Jon Sterling 寫的材料, 因為他, 包括 Coquand 老爺等一批人這幾年在 CTT 幹的事情, 其中的脈絡好像更清晰了:
Taichi Uemura 的型別論新 categorical/functorial semantics 去給 CTT 找 semantic model[1]
用 Artin gluing 搞事情
先證明 CTT 的 canonicity, 再搞 NbG (normalization by gluing), 實現 CTT 的 normalization 完全體 (正在進行)
這個結論在型別論的 initial model 很重要 (syntax 的元定理), 能完善型別檢查或 definitional equality 的完整性[3], 但 not preserved by homomorphisms (到 semantic 層次不 hold 了), 比如 @藥罐子千里冰封 給的反例.
2樓：藥罐子千里冰封
Type constructor 沒有 injectivity，題主這是試圖證明全世界的假命題啊。不過還是感謝題主整天提這些禁不起思考的問題，不然我哪來的發揮空間寫回答呢？我首先說明為啥 Type constructor 沒有 injectivity 再說明題主的那個特定的例子的問題。
題主提到了型別的相等性，那麼我先假定這是在 Univalent 的視角下看問題的。
只需乙個反例，`TyCon : (A : Type) → Empty`，這樣易證 `TyCon Nat = TyCon Unit`，但你能說 `Nat = Unit` 麼？
Cardinality 都不一樣。
兩個 Pi type 相等，當然需要 dependent path type，但並不能匯出兩個 domain 和 codomain 相等。參考 `Empty → A` 和 `A → Unit`，兩者各自有乙個 inhabitant，易證相等。
如果不考慮 Univalence 的存在，domain 相等或許是存在的，但是 domain 的 binding 可能 ∈ FV(codomain)，導致你的相等型別變成了 dependent path type，於是你可以知道證明這倆東西相等需要某種意義上的外延性，which 我不太確定但我覺得在老型別論裡做不出來。
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