如何證明 3 05 ？

1樓：拓跋景帆

解A. 由 \sin x (x>0)" eeimg="1"/>可得 \sin\frac=\frac}}2" eeimg="1"/>, 於是 4\sqrt}" eeimg="1"/>.

只需證 61" eeimg="1"/>, 兩邊平方得 3721" eeimg="1"/>, 即 , 再平方就是 , 得證.

解B. 由 \sin x (x>0)" eeimg="1"/>可得 \sin\frac=\frac-\sqrt}4" eeimg="1"/>, 於是 3(\sqrt-\sqrt)" eeimg="1"/>.

只需證 61" eeimg="1"/>, 兩邊平方得 3721" eeimg="1"/>, 即 , 再平方就是 , 得證.

解C. 設 , 則 , 即 , 判斷一下根的範圍不難得到 .

於是, 由 \sin x (x>0)" eeimg="1"/>可得 \sin\frac=\frac-1}4" eeimg="1"/>, 於是 \frac-1)}2" eeimg="1"/>.

只需證 61" eeimg="1"/>, 兩邊平方得 111" eeimg="1"/>, 再平方就是 12321" eeimg="1"/>, 得證.

A和B涉及到兩次平方和比較大的數的計算, 而C涉及到五倍角公式的推導和乙個五次多項式的因式分解, 你用哪個都可以~

2樓：千舞瀟

圓內接多邊形方法.

首先考慮乙個圓內接正方形，如圖1所示

要證明 3.05" eeimg="1"/>，內接正方形顯然不夠，現在我們把邊數增加到6，見圖2. 直徑為AD的長度,同樣的， \frac}=\frac=3" eeimg="1"/>, 這樣就證明了 3" eeimg="1"/>.

但是，這還是沒有達到要求，我們預計，12邊形應該夠了。12邊形的內角角度為 ,已經不是乙個規則的角度了，此時，與其在此計算12邊形，不如直接計算乙個內接多邊形的通式。我們只須考慮偶數內接多邊形（設邊數為 , 為整數），因為此類多邊形的最長對角線即為圓的直徑，方便我們利用關係 \frac}" eeimg="1"/>, 其中為多邊形的最長對角線，也即為圓的直徑。

同樣的，不妨設這個多邊形的邊長為1. 通過幾何關係容易知道,最長對角線(即直徑) . 那麼容易得到 \frac}＝2N\sin}}" eeimg="1"/>.

我們先來看的結果. ，利用泰勒展開，我們有，所以 . 當我們用邊數越來越多的多邊形去內接乙個圓時，所得的多邊形周長與對角線之比越來越接近圓的周長與直徑之比，並且我們得到了這個值， .

3樓：

對高中生來說，教材上並沒有對pi的定義，但是有弧度制的定義。所以乙個直徑為1的圓周長就是pi，之後再用內接多邊形就完全沒有問題了。（內接多邊形證明方法請參考其他答案）

4樓：原子筆

x>0的時候，x>=sinx，這個不等式x越小越緊。

所以0.5" eeimg="1"/>。然後再半形公式，這個結果會更緊。用半形公司算一下就行了

5樓：

作為乙個高中生，我表示Taylor展開倒還會一點（只會一點帶lagrange餘項），倒是不知道反三角函式的導數。。個人認為對數學有些興趣的高中生，很多都知道Taylor展開（畢竟高中數學吧有簡易版教程），而是把反三角求導忽略了

6樓：李卜外

其實很多時候數學家幹事情是這麼來的→_→

定義：pi為區間3.1到3.2間的那個sin(x)=0的根。

驗證定義的合理性留作習題。

命題：pi大於3.05

證明：由定義顯然。

p.s.這大概是乙個玩笑，但還是有些東西值得注意的。

1.將pi定義成sin的乙個根其實是很自然的做法，這出於我們要脫離幾何觀念而純解析地定義三角函式（通過級數）。然後我們可以檢驗這樣定義的三角函式是週期的，也可以估計根的範圍。

級數求和得到pi，其實多半還是要建立在pi的定義上面的。所以釐清pi的定義是有必要的。

2.將想要的性質用作定義，雖然會增加其他部分的困難，但還是很常用的手法。

7樓：葉飛影

圓的引數方程為

x = sin(u)

y = cos(u)

其中u的取值為0到2*PI

使u的取值為0到2*3.05可得到如下圖形:

看到明顯的缺口了吧.

8樓：

這個題思路還是挺明顯的吧

首先這是乙個估計的題，於是需要乙個和pi有關的可計算的東西，自然想到三角函式

然後一看不等式方向發現sin(x)

於是用pi/12, 發現可以, over

9樓：

龍櫻？記得漫畫龍櫻（中文名叫東大特訓班）裡說這道題的背景是當年有小學教材將圓周率近似值從3.14改成了3遭到批評，於是東大出題嘲諷了下那些起鬨的無知群眾你們說圓周率不是3你給個證明看看？

就這樣。

10樓：

割圓法對於乙個半徑為1的圓，將圓弧等分為份，將分割的點用直線連起來，構成正邊形

用余弦公式可得每條邊的長度為

則正邊形的的邊長為，顯然是的單增函式

求出時有3.1" eeimg="1"/>，而，根據極限的保序性，可得3.1" eeimg="1"/>

11樓：王希

泰勒級數高中沒學，我覺得這道題考察的是簡單的三角函式公式和兩點之間線段最短。

作圓的內接正八邊形，則π大於正八邊形的周長除以圓的直徑，這個值為8乘sin(22.5°)，由半形公式，該值為8乘根號下(1-sin(45°))/2，約等於3.06。

12樓：文博

半徑為1的圓內接乙個正十二邊形，正十二邊形邊長由餘弦定理得(√6-√2)/2≈0.518，2π＞0.518*12＝6.216＞6.1

13樓：

π方/6=1/1方+1/2方+1/3方+1/4方......直到1/n方，這個能手算，arctan沒辦法手算，算一會和3.05方比較一下就好了

14樓：

用泰勒級數展開 arctan 函式，然後根據

計算 pi 值。

收斂很快的，等收斂 pi 到了10E-3量級就夠說明問題了。

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