1樓：tetradecane
這都推導3了，有必要每個推導都那麼摳細節麼。。只要能理解任何乙個推導，其它推導大致看看就可以了，可能還不如你理解的那個推導便於理解。
其實我沒咋看懂這個推導，切平面應該是針對空間曲面的啊，曲線哪有什麼切平面，曲線只有法平面和切向量。我也不知道他說的那個r曲線和θ曲線是什麼東西。我推測以下內容是他想說的：
對於曲線r=r(θ)，向量dr是它的法向量，向量rdθ是它的切向量，這兩個向量是恆互相垂直的。
我感覺這個推導比較不嚴謹，沒有證明這樣算出來的矩形rdrdθ和實際面積相差的是高階無窮小。如果要不嚴謹的話，看我這個圖，畫得多好：
tetradecane：多元微積分——直觀理解重積分區域的座標系變換
2樓：無茗
翻開了本科的書，為了便於直觀理解，給乙個特例的形式化證明。其實最重要的是理解其中雅克比矩陣的意義。更嚴格的證明可以查詢數學分析的書籍。
3樓：曾璽文
這圖畫的也太糟糕了，也難怪題主會感到疑惑。
可以這樣理解，當扇形圓心角a（手機碼字，這裡用a代替theta）足夠小時，這個扇形可以看作乙個小三角形。
那麼劃過的面積微元就是乙個小梯形，上底rda 與下底 (r+dr)da之間相差drda，與dr和da相比是個高階無窮小，所以這個小梯形又可以近似為乙個矩形，矩形長為rda，寬為dr，因而面積微元ds=rdadr。
當然上面近似為矩形那一步，你也可以近似為平行四邊形，此時底為dr，高為rsinda，面積微元ds=rdrsinda，我們知道當a->0時sina～a，因此ds=rdrda。
又重新看了看圖，確定這個圖里的「切平面」應該和面積微元在同乙個平面內，否則不會用來近似面積微元。從弧線上取一點，以其法線和切線的方向分別作長/寬，作成的矩形，也不知為何會稱呼其為「切平面」。真正的切平面，是以切點半徑方向為法向量的平面，因此半徑r在這個平面上的投影只會是嚴格的乙個點，不可能出現dr長度的線段。
如果這個ppt是你們老師做的……我建議還是多自學吧……不然後面三重積分裡的體積微元你會更難理解。其實很多東西教材上講的非常詳盡的……
4樓：「已登出」
乙個沒學過這些的大一新生用樸素的知識來怒答一波。
還有什麼疑惑儘管來問。
文化少的我，就是這麼樸實無華。
為了清楚地說明這個東西，我拿出了壓箱底的高超畫技，謹獻此圖別看dA現在的方向和曲面差的有點遠，當dθ變小時，曲面越來越接近拉起的平面，dA也越來越像「曲面」的法向量
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