1樓：sun
你可以這樣理解，我們用 a**x 的形式表示 a 的 x 次方。你知道 2**3 的含義，也能知道 2**3.1 的含義，還可以知道 2**3.
14 的含義，照這個過程無限下去，你便得到 2**pi 的含義。
理解這個問題，最關鍵的是兩個詞，連續和趨近。在大多數情況下，因變數 y 總是隨自變數 x 連續變化的，如果你不知道某個 x0 對應的 y0，但是知道乙個趨於 x0 的無窮數列中的每乙個 x 對應的 y，那麼這些 y 構成的無窮數列也會趨於 y0。
在你的問題中，自變數 x 好比次方數，因變數 y 則是 2 的 x 次方的值，x0 好比 pi，y0 則是 2**pi。由於3 3.1 3.
14 3.141 ... 是趨於 pi 的乙個無窮數列，那麼 2**3 2**3.
1 2**3.14 2**3.141 ...
也會趨於 2**pi。
2樓：lichking01王
你憑什麼能用周長/直徑來定義π。你證明過所有圓的周長/直徑是乙個定值嗎？確切地說，你定義了什麼是周長嗎？（如果你學過測度論就當我在放屁，但這個問題獻給所有小學到大二的學生）
那我們在數學分析中是怎麼定義π的呢？
我們首先用皮亞諾公理定義自然數，然後用一些簡單的方法（加法和乘法的逆運算）定義有理數，最後用Dedekind分割/最小上界性/Cauchy列/實數公理中的乙個定義實數。接下來用泰勒級數定義sin，最後定義π是sinx的最小正零點。（這應該是最貼近數學分析這門課的π的定義方法，當然，3.
1415926…用數列逼近可能更加早學，但是這個數列的下一位是什麼是與π有關的，並不能作為定義π的方式，因為我們是先知道有π這個數，然後再去求他的值）
而不是像以前高中那樣用幾何直觀的方式給你乙個直覺的答案。
剛才我只定義了什麼是π，然後2^π就很好定義了，根據你用的定義實數的理論，用乙個有理Cauchy列或者Dedekind分割去定義2^π這個實數就好。
3樓：Tautochrone
，其中 表示集合 的上確界。具體來說， 是唯一的實數，滿足：
對任意 ，有 ，
若實數 滿足對任意 ，有 ，那麼 。
這樣的實數的存在性恰恰是實數的Dedekind完備性所保證的。
4樓：
設 0" eeimg="1"/>，指數的定義： ，其中 是微分方程 的唯一解， 是 的反函式.
根據這個定義可以知道：
0" eeimg="1"/>恆成立，因此 0" eeimg="1"/>恆成立；
，這是因為 也是微分方程 的唯一解，有 ；
；， ；
對正整數 ， （ 個 ）；
對正整數 ，有 ，這是因為 0" eeimg="1"/>且 （ 個） （ 個） .
所以計算有理數次冪等價於開方，例如
但計算無理數次冪無法用開方的形式，需要用定義：
5樓：louzhiguo0000
任何乙個無理數減去其整數部分，都得到乙個整數部分為0的無限不迴圈小數。
我們把任何這樣的小數x的小數點後第n個數字記做 ，則x= 無限個 之和就等於x
任意取乙個實數y，那麼
= 無限個 之積就等於
6樓：
簡單來講，就是說，實數本身的公理化定義的方法之一，就是使用有理數的柯西列
設 是一有理數列.
對於任意給定的有理數 0" eeimg="1"/>，若存在 ，使得對任意的 且 N" eeimg="1"/>時，有
則稱數列 是乙個基本列或Cauchy列.
實數有好幾種公理化定義的方法，其中有一種簡單來說就是：
有理數集 中的任何乙個柯西列確定實數軸上的一點，所有有理數集上的柯西列構成了實數集 .
這麼說實際上是為了避免在定義實數之前就引入極限這個概念，你如果自己理解，直接樸素理解成把實數定義為有理數的極限就行
對於乙個正實數 ， 和 的定義都是很顯然的（ ）
現在我們定義
它的存在性可由實數集的確界原理保證
有了這些，便可定義正實數的有理數次冪，即
（ ， ， ）
當然負有理數也一樣
最後一步，就是對於乙個極限為 的有理數列
可以定義
為數列 的極限，這一點由指數函式的連續性保證
詳細推導建議去看看數學分析教材，比如陶哲軒的《Analysis》上說的就比較清楚
待續（可能還有補充）
7樓：一顆可愛的核彈
我們算不出π ，但知道π比3.1415926535897大，比3.1415926534898小，而這兩個數作為二的指數時的值都能算，然後一直一直往下算
然後可以算出乙個數，使得隨意取乙個多麼小的數，總有二的｛π總能取到某一位｝次方與這個數的差小於取的數
那就是二的π次方
8樓：「已登出」
相似的問題還有，2↑pi的值是多少
↑運算子規則如下：2↑2=2^（2^（2）），也就是巢狀的冪次像這樣「只定義在整數上的運算」，經過適當的途徑可以「解析延拓」，具體參看復變函式教科書
例如gamma函式就是階乘的解析延拓，gamma函式是階乘唯一的解析延拓這比較特殊，有可能其他運算會有多個（原因不知道π_π）
和這道題相結合一下，還是構造乙個性質足夠好的函式去逼近。
9樓：格洛公尺
是乙個確定的數
一：指數函式是基本初等函式
二：基本初等函式在其定義域內連續
三：閉區間連續的函式一致連續
四：根據一二三，我們有（）一致連續
根據四，我們可以用不足數列和過剩數列來逼近通過不斷夾逼，就能夾逼出來精確值
顯然，這是個無理數
2的n次方的階乘怎麼算？
凡夫俗子 算 2 如果只要乙個近似的話，可以代入公式sqrt 2 exp 2 x 1 12 2 x 1 1 360 2 x 1 3 1 1260 2 x 1 5 1 1680 2 x 1 7 1 1188 2 x 1 9 691 360360 2 x 1 11 1 156 2 x 1 13 3617...
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