1樓：
此題等價於遞推數列 （ ）
， 由也即 這說明數列 是單調減的，而且存在下界0
由單調有界收斂定理（這是實數系的基本定理之一），顯然數列 存在極限，令它為
的唯一實數解就是
注意幾點：
設函式 在區間 上定義， ，並存在乙個常數 ，滿足 ，使得對一切 ，成立不等式 ，則稱 是 上的乙個壓縮對映，稱常數 為壓縮常數
設 是 上的乙個壓縮對映，則
（1） 在 中存在唯一的不動點 ；
（2）由任何初始值 和遞推公式 ， ，生成的數列 一定收斂於 .
以上是壓縮對映原理
本題是不能使用壓縮對映原理的
因為儘管正弦函式滿足：
是乙個Lipschitz連續的函式，但前面的係數是1，不是壓縮對映
這題恰恰說明了，壓縮對映的條件是充分不必要的，非壓縮對映依然可以存在不動點，並且對映的迭代收斂於這個不動點
這玩意兒一般是用幾何法推出的
如果想不用幾何法，有個辦法，那就是不借助幾何，純粹用復分析的方法定義三角函式，關於這個可以參考Walter Rudin的《數學分析原理》
2樓：來杯熱茶
用數學歸納法證明sinsin......x單調遞減，然後找下界，這樣就證明了極限存在，設極限為a, sina=a，顯然a＝0
3樓：銳萌萌
由對稱性那我們就只考慮0到pi/2的x了
由於0～pi/2 sin x＜x
所以得到乙個遞減有下界的數列
因此極限存在不妨設為a 又 sin a等於a所以a=0證訖
4樓：Lamma
考慮這樣一種情況：
給定連續的函式f(x),且f(x)=x的解為x=k則只要[f(x)-x]*[f(x)-k]<0在x=k之外處恆成立，則fff...f(x)=k
只需要取x0在定義域內，並使x1=f(x0)則|x1-k|=|f(x0)-k|<|x0-k|故進行這樣一次的處理，可以使所得結果更靠近k，那麼令新的x0等於上述結果x1，並不斷重複此種處理，就可以知道所得值將會無窮逼近k，即無窮迭代時結果為k
sinx迭代如此，x^(1/2)亦如此。
那麼如果視x=g(x),對於更一般的f(g(f(g(f(g(...f(g(x))...))))又如何呢，煙抽沒了想不動了，改日再戰。
5樓：foxell
熟悉凸分析就很顯然了。可以不妨設sinx>0，因為小於0的情況是對稱的。之後只要注意到sinx在[0，1]上導函式在[0，1]之間所以是firmly nonexpansive的，所以只要存在不動點就可以收斂到不動點。
reference 見convex analysis and monotone operator in Hilbert space Chapter 4。
6樓：起名困難症候群
把這個式子看成數列an+1=sin(an)的極限先看x>0
顯然有界，sin x是[0,1]的，有下界0，上界1。
數列又是遞減的，且x=0時sin x=0，所以極限是0x<0也同理
7樓：寨森Lambda-CDM
@半個馮博士 與 @靈境 都給出了正確且符合題主要求的答案，他們已經解決了題主的問題，可先行參閱他們的回答（他們的想法非常簡單，就是迭代一次就可以落到 附近的乙個區間，而在那個區間內 是單調的，所以可以用單調收斂定理證明存在性。極限值就是那個不動點）。
【附】感謝 @法國球 提醒。第乙個回答我搞錯了。不能用壓縮對映定理(Banach fixed-point theorem)解決，因為。
【附】按照 @foxell 的說法，關於的情形有如下處理方法（請移步他的回答）。firmly nonexpansive operator的定義是：
容易驗證 確實是firmly nonexpansive的，而根據凸分析不動點理論的乙個定理，如果firmly nonexpansive operator確實有乙個不動點，那麼迭代 會收斂於不動點。這是利用不動點定理解決該問題的正確方法。
下面是錯誤的回答。
這裡就貼數值分析上對於不動點迭代問題常用的乙個定理作為補充吧（雖然不符合題主的要求）。
定理壓縮對映定理
設 在 內連續且滿足：
①壓縮性
②映內性
則存在唯一的 使 ，且對於任何初值 ，都有由 確定的數列 收斂於
這個定理證明事實上相當簡單，雖然「只能用定義和單調有界收斂定理」證不了，但再多使用個介值定理就很容易了。
這個定理是處理諸如題主這種問題的通法。本題中只需取 ， （雖然 未必落在這個範圍，但 一定落在這個範圍，可見是不要緊的）， （可以由拉格朗日中值定理確定出這個常數 ）
8樓：
sin是連續的，設An極限是a，則sin(An)極限是sin(a)
但是sin(An)=A，因此sin(a)=a
只有a=0
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