1樓：東雲正樹
你也許應該自己試著先證明一下··· 或者至少先看一遍你說的那個結論是如何被證明的, 而不是直接搬過來迷思. 在初等量子力學中, 兩個算符對易意味著什麼我曾寫過比較詳細的回答了:
兩個算符對易，應該怎麼去理解？
你會發現, 和大多數本科課件與部分教科書中不同, 我這裡講的稍微會要複雜一些, 這是因為真要談這個問題就必須要考慮簡併的情形.
你花十分鐘把上面那個回答看完, 再想想為啥我在第二步裡花那麼大勁解釋本徵子空間內的對角化?
然後我估計就應該沒有任何疑惑了, 具體例子也是容易給出的, 最直觀的不就是角動量理論中的所謂主量子數與磁量子數的關係嗎? 難道主量子數確定了磁量子數就有確定的值? 那我們還找力學完全集幹嘛?
如果乙個算符與其它算符都對易後這個算符的本徵態下其它算符都給出確定本徵值的話, 那直接用這個算符的本徵值不就能唯一地鎖定 Hilbert 空間中的乙個歸一化的態了嗎?
你問題中說的『也就是說乙個算符是否具有多個本徵態?』是指什麼我是完全妹搞懂, 你很可能是有什麼特別基本的概念沒搞清楚.
上面那些我相信還是多少會有點兒懂的都懂的感覺, 對於第一次接觸量子力學的同學, 我可以現場試著幫你構造乙個最最最最直觀的例子:
我們創造乙個量子系統, 它所處的 Hilbert 空間是三維的[1].
那我們在空間內總可以找一組完備正交基
現在我構造乙個算符 , 顯然剛才的正交基就是它的本徵態, 對應的本徵值分別為 .
那所謂的簡併就是說假如 , 我們就無法靠本徵值區分 兩個態了, 它們就張成本徵值 對應的本征子空間.
現在再構造乙個算符:
那麼在完備正交基 這個表象下它倆寫成矩陣就分別長成下面這樣:
它倆顯然對易, 不信你自己算一下.
然後呢? 我想表達啥?
就在本徵值 對應的本征子空間裡, 我們靠 的本徵值是沒法確定乙個向量的, 因為這個空間裡的任何乙個向量去夾 得到的始終都是本徵值
什麼叫任何乙個向量? 就是 的任意線性組合, 你可以自己玩玩看.
所以這個時候我們就需要加入算符 來構成力學完全集, 從我構造的過程就可以看出算符 的本徵矢是啥了吧? 不就是 這倆嗎? 分別對應本徵值
你很容易證明這倆本征矢也是正交的, 所以我們前文中談的在本征子空間裡的對角化指的就是將本征子空間裡的基矢從 換成 罷了, 這對算符 來說自然是不痛不癢, 對 而言則意義重大.
那麼在正交基 這個表象下它倆寫成矩陣就分別長成下面這樣:
為啥 在第三排? 因為我喜歡, 這順序純粹是人為要求的, 基矢本身肯定平權啊.
那為啥我們要構建力學完全集?
因為這樣我們就可以靠 的本徵值來區分 張成的空間中的向量.
那光有 行不行呢? 哈哈, 因為我構造的足夠巧妙, 所以答案是也不行.
因為這樣你就沒法區分 張成的空間中的向量了.
那最後再繞回你的問題, 你說在 的本徵態下 就一定有確定的本徵值?
你再想想.
2樓：
不一定。
比如雖然
是一維自由粒子的哈密頓算符
的本徵態，但是不是與之對易的動量算符
的本徵態。
彼此對易的兩個算符 和 一定有一組共同的本徵態。
沒說是兩個算符的本徵態完全相同。
但是如果是沒有簡併態的情況，則兩個算符的本徵態是完全相同的。
3樓：振動的粒子
兩個對易的觀察算符A，B存在共同本徵態（而且它們能構成態空間的正交歸一基）不意味著A的本徵態就一定也是B的本徵態。
對於A的屬於本徵值λ的本徵態｜Ψ＞，即
A｜Ψ＞=λ｜Ψ＞
由於AB｜Ψ＞=BA｜Ψ＞=B（λ｜Ψ＞）
=λB｜Ψ＞
顯然B｜Ψ＞也是A的屬於相同本徵值λ的本徵態
當對應於本徵值λ的本征子空間是一維，也就是本徵值λ非簡併，λ只對應乙個本徵態時，B｜Ψ＞和｜Ψ＞必定是「共線」的，設「比例係數」是b，那麼B｜Ψ＞=b｜Ψ＞，這個時候｜Ψ＞也是B的本徵態。
但是當對應於本徵值λ的本征子空間ε的維數大於1也就是本徵值λ存在簡併時，雖然對於任意的｜Ψ＞∈ε，都有B｜Ψ＞∈ε，但是
B｜Ψ＞和｜Ψ＞不再具有「比例」關係，在一般情況下，｜Ψ＞不是B的本徵態
所以說，A的屬於非簡併本徵值的本徵態是B的本徵態，A的屬於簡併本徵值的本徵態未必是B的本徵態
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