1樓：chime z
上面的 @YorkYoung 大佬證明了所謂正規矩陣等價於本徵矢能構成一組完備基，算是完整回答了這個問題。
但是對於把乙個態矢展開成某個算符本徵矢的疊加這種操作，並不意味著這些本徵矢是完備的，比如描述中提到的湮滅算符，它的本徵態是相干態，而相干態是非正交超完備基，當然湮滅算符這種東西它也不是有限維的，然而神奇的是我們竟然可以就這麼直接計算了，學物理是不能把數學嚴格當作前提的，啥都嚴格化來一邊的話怕不是一輩子也學不完量子力學基礎 (_- )
2樓：YorkYoung
定義：乙個矩陣 如果與它的厄公尺共軛 對易 ，那麼它被稱為正規矩陣。
命題：乙個矩陣 可以酉對角化，即存在酉（么正）矩陣 使得 為對角矩陣的充要條件是 是正規矩陣。
證明：必要性：設 ，則 ，對於對角矩陣而言，其厄公尺共軛就是將其對角元素取復共軛，所以 ，進而。
寒號鳥：第十三課：矩陣的譜分解（二）
注：有個概念感覺原文沒說清楚，正線上三角矩陣是指對角線元素全為正的上三角矩陣，任何乙個可逆矩陣都可以通過施密特正交化分解為乙個酉矩陣和正線上三角矩陣之積。
題外話：
YorkYoung：量子力學雜談——譜族
又看了下，原作者有幾個地方抄書抄錯了，我自己再證明一遍，當個練習吧。
引理1（UR分解）：任何乙個可逆矩陣都可以唯一分解為乙個酉矩陣和乙個正線上三角矩陣的乘積。
證明：把可逆矩陣寫成列向量組的形式 ，對列向量組做施密特正交化：
反解得：
上三角矩陣對角線必然為正，否則與原矩陣可逆矛盾。
唯一性證明如下，設存在不同分解 ，則有 ,由於酉矩陣和正線上三角矩陣都構成群，所以結果應該是乙個既酉又正線上三角的矩陣。由於酉矩陣的逆是它的厄公尺共軛；正線上三角矩陣的逆也是正線上三角矩陣，且對角線元素為原矩陣相應元素的倒數。從而既酉又正線上三角的矩陣只能是單位矩陣。
於是 ，即有 。
引理2：任何乙個矩陣都酉相似於乙個上三角矩陣。
證明：任何乙個矩陣都相似於它的若爾當標準型 ，設 ，則有 ，其中 都是上三角矩陣，從而 必為上三角矩陣。
引理3：正規的上三角矩陣一定是對角矩陣。
證明：考慮 和 的主對角線元素，我們有如下方程：
列出方程組如下
由方程1可知 ,假設我們已知前 行都是對角的，必有 ，從而第k個方程變成 ，從而第k行也是對角的，依次推下來，整個矩陣都是對角的。
最後證明定理，考慮與乙個正規矩陣酉相似的上三角矩陣 ，我們有
從而 ，即 也是正規矩陣，從而它必定為對角矩陣。
量子力學中對力學量測量就是將力學算符作用在波函式上，這種說法對嗎？
湍流 對於哥本哈根詮釋，這句話稍微有點不嚴謹，測量過程中儀器會得到讀數，態會突變，讀數是取本徵值之一，相應的概率為向本徵矢的投影的模平方，態的突變可以用向這個子空間的投影來描述。但是哥本哈根詮釋是不自洽的，因為儀器也是量子的。在這種情境下，測量是很複雜的過程。 我還是吃的太飽 量子力學的基本假設是體...
經典中的力學量怎麼轉換成量子力學裡的算符？
Zhen H 這是乙個很好的問題。歷史上很多優秀的物理學家思考了這個問題，做出了很多很深刻的結論。從物理的角度來說，量子化 quantization 有一次量子化和二次量子化。從數學的角度來說，這方面是很嚴肅的分析學與代數學研究。大家考慮的問題是 乙個經典的運動方程，怎麼對他做乙個神奇的變換，他就變...
大家對量子力學中的各種算符有什麼深刻的理解？
YorkYoung 量子場論中的場算符並不是算符值的函式，而是算符值的廣義函式！也就是說對於標量粒子 旋量粒子 和向量粒子 而言，我們不能認為給定乙個時空座標就得出了乙個希爾伯特空間的算符，而是應該把它們看作乙個線性對映，把乙個有緊支集的光滑函式線性地對映成了乙個希爾伯特空間的算符！所以 一點都不奇...