1樓：
-_-我們考慮乙個線性方程:
作為整數項矩陣,
如果這個矩陣作為 (有理數矩陣), 有非平庸有理數解, 注意有理數是乙個域, 說明矩陣解空間的維度大於等於0,
就是說, 存在
作為有理向量( 就是向量, 裡面是有理數 ), 使得:
### 是解空間
對每個有理數向量乘上乙個適當的整數我們得到整數向量, 並且整數向量仍然滿足###
( 一般情況, 對於乙個 integral closed 的 domain R, 我們可以構造 k(R) 就是quotient field, 然後考慮k(R) 的域代數擴張 L, 然後考慮 L中的 R-integral ring O, 那麼任何的L基於k(R)的基, 都可以通過適當的變換變成 O中的元素 )
也就是, 非平庸有理解的存在性匯出了非平庸整數解的存在性.
然後我們來看這個問題:
考慮實數
我們知道, 這 2n+1個實數滿足 2n+1 個整係數( 其實係數只有 0, 1 ,-1)線性方程,
那麼我們看
滿足 2n個整係數線性方程 ( 由上面的整係數線性方程匯出的, 或者我們可以知道 可以通過 的乙個整係數線性變換得到, 要是嫌這個線性變換改變了維度, 那麼考慮 )
M 是整數矩陣, z是
這種情況下, z 必須是有理向量
( a們不一定是有理數, 但是他們的差組成的向量滿足有理線性方程, 所以解必須是有理向量)
如果非平庸有理解存在, 說明非平庸整數解存在, 說明存在不全相同的2n+1個整數, 滿足線性方程, 就是我們要求的去掉乙個數, 剩下的數存在乙個劃分blablabla....
但是這樣的整數不存在, 所以, 非平庸有理數解不存在, 就是說, 如果實數滿足要求, 那麼 必須是平庸的, 就是全都是0, 就是說, 所有實數都相同.
如果整數的情況已經證明了, 那麼實數的情況證明了就.
但是這裡, 我們繼續走下去, 不需要整數的情況:
我們來看的線性方程是什麼樣子吧:
其中 1(-1) 是表示 1或者 -1, 每一行的 1和-1的個數都相同.
如果我們能證明, 這個矩陣的rank是 2n, 那麼解空間的維度是1, 但是我們知道如果所有的a都相等是滿足線性方程的, 也就是說, 該方程的解必須滿足條件所有a都相等
這裡面, 我們可以觀察到, M是退化矩陣...因為把所有的列加起來得到0.
那麼如果我們能證明, 就是 (1,1)項的對偶矩陣 (adjoint matrix)的行列式不是0, 那麼M就是rank 2n的.
是 2n 階的, 每一項要麼是0, -1, 1
於是大家想象如果我要計算行列式, 我會寫出來乙個很長的求和公式, 求和裡面的每一項都是一串乘積, 乘積裡面要麼是 1,-1 或者是0
我們一共有 (2n)! 求和項
求和項裡面帶0 的項一共有
這個式子的解釋:
1.括號裡面有兩個數的表示從 2n 個元素中選k 個的方式數目, 一般用 比如說
2.所有的求和項可以包含第乙個對角0項, 第二個對角0項, ..., 當然存在同時包含第乙個和第二個對角0項,
包含任何乙個對角0項的數目是 (2n-1)!
包含任意兩個......(2n-2)!....
包含任何k 個 (2n-k)!
...然後就利用有限集合元素數目的計算方式:
這裡面是乙個有限集合被三個子集覆蓋, 是子集 , 類推.
一般的情況也是類似的.
不難發現, 那個式子除了結尾的 -1 , 其他的都是偶數
於是那個式子的結果是乙個奇數
但是我們一共有 (2n)! 求和項, 是偶數
所以求和項裡面沒有0的, (就是 -1 或者 1), 項數是奇數,奇數個 1或者 -1 的和不會是0.
請問關於這個反常積分的結論如何證明呢？
free光陰似箭 首先，這是廣義p級數的積分判別法。現在我們利用現有的結論來證明這個積分的推廣形式以及斂散性。一，定義幾個符號，約定所有對列舉變數均為正整數 1，調和級數 容易證明這級數是發散的，我們另有 x 是黎曼Zeta函式。H n是調和級數，依p級數判別法，當p 1時級數收斂，收斂到 p 當p...
如何證明下面這個式子
時間之偶 我有乙個大膽的想法不知各位能否看一下？核心思想 因為 1 y sinx的導數 1，而y x的導數 1，所以上式成立 中間是 ps 想到了乙個美妙的證法，可惜這裡空白太小 我懶得打 寫不下。 劉毓 因為sinx的導數是cosx，1 cosx 1所以，只有x是解的時候，斜率的絕對值才 1，其他...
如何證明這個級數問題？
畦哇矽 問題 設 為實數列，定義 求證 若數列 有界且 則 我們的核心思路是，假設沒有，於是 會無限次地遠離 又因為 所以 會無限次地靠近 因為 受到限制，所以 在一次靠近和一次遠離之間行進得很慢，經歷了很多很多項才從 靠近狀態 變成 遠離狀態 而這麼多項離 靠近狀態 越來越遠的值能夠對平均數造成比...