1樓：emmmmmmm
感覺好有意思。睡前想了一下，證明這個問題的關鍵在於，題設裡的幾個條件其實對點集的性質做了高度的限制。不知道接下來的分析有沒有遺漏什麼，懇請大家指出。
（當然，我預設了題設中選ABC三點時是可以有重複的。不知道這麼理解是否有問題。）
首先，找出這個最短向量，假定是 。那麼必然存在 ，乃至於 和 ，使得 。於是這一串點排成一條晶線，並且晶線上不再有其他沒被數到的點，否則會違背「 是最短向量」這個條件。
接下來，假如晶線外沒有點了，顯然證畢。但若晶線外還有點，那麼我們接下來要證明，存在一點 ，使得 是剩下所有向量裡最短的。
記原可數點集中任意兩點間的向量構成的集合為S，記直線 上任意兩點間的向量構成的集合為T，則T是S的子集，且 集合中各向量的距離必然有一下確界 ，使得 。要證明的是該下確界 必可取到，做法如下。假設該下確界取不到，則必然有一串行 ，使得任取 0" eeimg="1"/>，序列中都有無窮多個元素滿足 。
而由題設，對於每個 ，必存在點 ，使得 。於是所有 就會排在 附近的、內徑為 、外徑為 的乙個圓環上。然而，顯而易見的是，當 充分小，而這個環上放置的點又足夠多時（實際是不超過6個；此時排成正六邊形），就必然會存在 和 使得 ，與 是整個集合 的下確界矛盾。
所以，下確界必可取到。
於是再把取到這個下確界的 ，及那個滿足 的 拎出來，就可以再依照前面的方法，構造沿著 方向的一條新的晶線出來，上面等距分布著一些點。而 由題意自動以整係數張成乙個晶面。那麼類似前面一樣地，可以說明該平面上不存在其他沒被數到的點，否則其（由於必然屬於某一週期，即，屬於某乙個小平行四邊形形狀的元胞）到某乙個格點的距離必然小於平行四邊形形狀的元胞的某一條邊長（這個可以由平行四邊形對角線上分別畫兩個以相鄰兩邊長為半徑的圓來想。
這倆圓必然相交。），又與前面的各種「最小」假設矛盾。
那麼仿照類似的方法，記該晶面上任意兩點間的向量構成的集合為 ，則可以證明 裡必然存在下確界 ，且此下確界必可取到（這回是以 為中心的球面上不能排太多個點，否則其中兩點間距離小於球半徑）。於是以此下確界確定的新向量 將把原來的晶面複製成乙個三維晶格。最後只剩下證明：
該三維空間裡不存在沒被數到的點，否則該點到某個平行六面體元胞的距離必然小於平行六面體某邊長度，又與各種「最小」矛盾。
於是 就是待求的格矢。證畢。
2樓：
這個結論分明是錯的。比如對於簡單立方而言的初級元胞由三個向量 張成，然後考慮互不共面的向量 ，就存在 中的乙個點 不能表示成 的整係數線性組合。
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