1樓：
通常的維度是整數，於是有人 （專指數學家）就想，為啥不能有小數的維度呢？如果有小數維，應該如何定義。
由於通常的維數有很多種定義，比如通常用座標架的維度，比如座標(x,y)有2個座標，這種定義妥妥只能是整數。那換其它定義呢？
還真找到這樣一種定義，看測度（長度，面積，體積...）和縮放係數之間的關係。比如，線段長度和縮放成正比，矩形面積正比於縮放係數的2次方，體積為3次方，這都是符合直觀的，可以定義為維度。
而剛好，分形結構的這種維度可以不是整數。比如，Koch曲線，長為1的線段迭代一次，變成4段長為1/3的線段，若記初始長度為s的Koch曲線長度為V(s)，則有4V(1/3)=V(1)，即縮放3倍，長度增加為4倍，於是維度為。
那麼這種維度是具體是如何定義出來的呢？當我們測量乙個物體的大小時(長度，面積，體積)，直觀的做法是用一系列的小球或小方塊來填充，讓這些小球趨於零，自然就很好地覆蓋了原物體。借用球體體積正比於半徑的n次方的事實，若我們的維度d是合理的，則體積應該正比於半徑的d次方，於是我們就算出了該物體(這些小球)的關於d維的一種體積。
這種體積可稱為d維Hausdorff外測度。當d變化時，外測度也會變化，有個值會它從零發生突變，這個值就是Hausdorff維度。
總結起來就是：我們平時用來算體積，在Hausdorff意義下，用無數個剛好覆蓋物體的小球或小正方體的體積之和來算體積。這個d的選擇有講究，d太大了體積就變成了零了，剛好不為零的那個d就是Hausdorff維度。
然後，我們用上述定義來考慮平常的維度和分形維度。假設乙個物件的半徑為x，Hausdorff測度為V(x)。我們日常的1維規則物體，Hausdorff維度妥妥應該為1，因為由級數的性質，d大於1時，總長度會變為零。
對於Koch曲線，我們知道，如果維度為1，總長度肯定趨於無窮，因為它是呈指數級增長的。但是我們發現，所以它的維度應該為。
對於分形物體這種有明確遞推規則的物件而言，Hausdorff維度好算，但一般的Hausdorff維度不好算，只能近似。
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