1樓：自學生
我用我發現的個人觀點看問題。大自然存在的面積原理模型，是一對同時存在的自然空間時間和自身核心（眼球）的內外面積和正中球面空間生命之路方向時間統一系統原理模型。
2樓：寧缺
微積分有精確解的啊，mathematics就有精確解和數值解兩種反饋。
(PS：只是部分有精確解，大部分數值解保證精度就足夠)面積是可求的，牛頓時代的微積分跟現代意義上的微積分區別還是很大的，至少關於無窮小這個概念就很不清晰，後世數學家一代一代完善了這些觀念。
PS：一般上完高數課應該不會有這樣的疑慮啊。。。要是還不明白可以看看美帝和蘇聯的數學教科書結合著看
3樓：
請闡釋面積「存在且可求」的確切意義，或者請「證明」「長方形的面積等於長乘寬」。
思而不學則殆，哪怕就翻一頁實變函式的教材，也能解決疑惑。比如常見地，
面積被定義為二維歐式平面的乙個可測子集由 測度下所對映的非負實數。
4樓：CuKing
什麼叫有限精細呢, 只有給定的誤差要求足夠寬泛,我求出來的值才是可接受的
什麼叫無限精細呢, 你隨便給乙個誤差要求,不論這個誤差要求多小,我求的值總是能滿足條件
最後你會發現滿足這個條件的值只有實際值.
具體你可以學學數學分析,學了就明白了
5樓：beanandbean
從哲學角度來說，面積的「定義」確實是所佔二維空間的大小，但是這最多只能讓我們理解長方形的面積等於長*寬（因為長方形內部的空間正好可以不重疊地放下長*寬個單位正方形，所以他佔據的空間就應該是單位正方形的長*寬倍），對於我們求更複雜的圖形，比如曲線圍成的空間，的面積卻於事無補。因此，現代數學選用的是更為嚴謹的定義方法：我們首先假設面積為從二維空間的子集到非負實數的乙個對映 ，即對於二維空間的某乙個子集 [1]，面積對映將給出乙個對應的非負實數 ，這個實數就被稱為該子集的面積。
那麼現在問題在於，只有當考慮的子集正好是長方形時，我們才知道面積對映具體的值，我們該怎麼求出對於剩下的區域，面積對映應該賦予它們什麼值呢？數學家們給出的方法是，我們先通過總結直覺中對面積的認知，列舉出一系列面積對映應該遵守的性質，然後用這些性質試圖去限制乙個不規則圖形的面積可能的取值——如果最後可以找到乙個非負實數 ，使得我們的面積函式在符合列舉出的性質的情況下，為某個區域 給出的值既不能大於 ，也不能小於 ，那我們就相當於確定了 的面積一定是 。
好了，講完了確定圖形面積的大體思路，我們來具體進行一下這個流程。首先，除去長方形的面積一定是長*寬以外，我們為面積對映 總結出的其他規則如下：
任意圖形的面積都是非負實數，即對於二維空間的乙個可測子集 ， 。
空圖形的面積是 ，即 。
將可數多個不重疊的圖形合併成乙個圖形，則新圖形的面積為原來圖形面積之和，即對於一組子集 ，如果給定任意 都有 ，則 。
這樣的對映 在數學上被稱為乙個測度。
這裡要注意到上述規則的乙個重要結論，同時我們在直觀上也是很認同的，就是如果二維區域 是區域 的子集，那麼 。這是因為我們可以將 分為 和 兩塊，根據上述性質就有 ，且 ，所以自然可得到 。
那麼現在，假如給定了乙個不規則的圖形 ，我們該怎麼用上述的規則去限制 的面積的取值呢？乙個明顯的方法是在 的內部作若干個互不重疊的長方形，那麼我可以計算每個長方形的面積，根據規則3也就可以求出這些長方形拼在一起的面積，在根據上述的重要結論，可以知道 的面積必然要大於等於這些長方形拼在一起的面積，也就為 的面積找到了乙個下界。類似地，如果我們能夠畫出若干個互不重疊的長方形，使得 被這些長方形完全覆蓋，那麼 的面積就一定小於等於這些長方形拼在一起的面積，也就是為 的面積找到了乙個上界。
這時候，如果我可以找到乙個非負實數 ，使得對於所有 ，我都可以找到上述的構造說明 是 的面積的乙個下界，並且對於所有 k" eeimg="1"/>，我都可以找到上述的構造說明 是 的面積的乙個上界，那麼按照我們原先的思路，我自然就已經嚴謹地說明了 的面積必須是 。
現在，積分的方法恰恰是將這個構造的步驟標準化了：積分求面積的本質在於，對於每乙個正實數 ，積分法確定了乙個固定的、構造兩組寬均為 的長方形的方法，並相應地給出 的面積的乙個下界 和乙個上界 。這個構造方法，在現今任何一本嚴謹定義黎曼積分的教材中都可以找到，此處就不贅述了。
我們平時說乙個積分存在，實際上是在說積分法給出的上界函式和下界函式在 趨於 時收斂到相同的極限，即定義 。同時，這裡的極限又是採用嚴謹的 語言定義的，比如對於下界 就表述為，若令極限為 ，那麼對於任意的正實數 ，都存在 0" eeimg="1"/>，使得對於任意的 ，構造出的下界都滿足 。所以，基於這個結論，對於任意 ，我們考慮正實數 ，自然有 0" eeimg="1"/>使得積分法構造的寬為 的長方形組給出下界 。
現在 是 面積的乙個下界，那麼 自然也是乙個下界，我們就證得了所有 都是 面積的下界。同理，分析上界 極限的 語言也可得出所有 k" eeimg="1"/>都是 面積的上界，故而我們就如前所述地嚴格證明了積分確實給出了 面積的精確值。
最後，關於常見函式積分的求解方法，比如微積分基本定理、換元微分法、分部積分法等，在嚴謹定義黎曼積分的教材中一樣可以找到關於這些方法確實給出符合 極限語言積分定義的結果的嚴格證明。至此，我們就完成了初等微積分公式給出的確實是不規則圖形面積這個證明的最後一環，由此可以確定，微積分方法得出的的確是待求區域唯
一、精確的面積值。
6樓：候鳥
有一些是非常非常正確的數值，有一些不是。我們可以看乙個例題:
如果學過定積分，可以用定積分來計算:
但別看用定積分一下就能計算出來，要學的東西卻很多。我們剛剛舉出的這個例子y＝x是可積函式，對於可積函式算出來的就是準確值。
應該是這樣，您可以學學微積分
如何證明「無限細分求得極限」是準確的數值而不是近似？我們可以這樣:
所以1/3是準確值。
質疑解決了，第2次數學危機好像就是由無窮小量引起的，柯西和威爾斯特拉斯定義了極限後解決了
改一下，有錯誤
7樓：Perplexboy
我是工科的辣雞，不過我感覺你這個問題應該用測度論來回答。
如果是按直觀的理解的話，曲線內圍的區域就是乙個面積，這樣的話理論上總是能測量的，數學上精確，物理上可以近似。
8樓：空白
曲線圍成面積是可求且嚴格的，可以分別取內接矩形和外接矩形並無限細分逼近，由幾何直觀我們易知以下關係:S內接＜S曲邊＜S外接，在n→∞時，用極限可證明細分的內接矩形和外切矩形面積和收斂於同乙個值，那麼這個極限值必為曲邊梯形的真正面積。
9樓：
數學理論裡一切都是定義。
比如數學裡的連續曲線指的是x和y為t的連續函式對應的曲線，這一定義足以造就許多想象不到，現實也不存在的曲線，比如peano曲線。
那麼依賴於連續曲線定義的「面積」，自然也得是數學定義出來的，實際上面積就是通過微積分（或者測度論）定義的，只不過好在它能夠滿足我們日常對面積的一些直覺：不相交的物體面積可以相加，平移或旋轉不改變面積，延某個方向伸縮時面積也伸縮等等。
10樓：瑜書
牛頓和萊布尼茲提出微積分的時候確實是受到質疑的，但是後來已經有數學家完善了他們的表述，也就是用ε-N語言進行描述。因此，現在所有的積分公式(包括導數和微分)，都是建立在一套嚴謹完整的數學語言體系之上的，理論上如果能知道曲線的形狀(甚至描述方程)，利用定積分的方法是可以算出精確解的。物理上的微元法和網格法也是基於定積分的基本原理，事實上數學也有類似的數值計算方法，比如辛普森法，只不過沒法做到無限細分，才只能取近似值。
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