1樓：商正則
@dhchen 的答案已經很好了，充要條件就是E是G_δ集，即可以寫成至多可數個開集的交集。
這裡只是做個補充，就是 E不一定需要是個很複雜的集合才會使這樣的函式不存在。比如說，有理數集就不是乙個G_δ集。進一步的，R^n的任何乙個可數的稠密子集都不是G_δ集。
這是Baire綱定理的結果。但是無理數集是G_δ集，Rieman函式就是剛好以無理數集為連續點集。
2樓：
標題的問題有個簡單證法。
連續函式是被它在有理點的值決定的，所以連續函式的數量(cardinality)不超過 ，明顯小於 的子集的數量，所以不一定。
至於具體條件，另乙個答案已經講了，我就不用說了。
3樓：dhchen
非常陰間(老)的乙個問題了。
設 是度量空間，乙個集合 是某個函式 的連續點全體當且僅當它是乙個 -集合（也就是可以表示成一列開集的交集）。
證明連續點必須為 -集合的證明如下
反過來給定-集合構造對應連續函式的方法：
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