1樓：默默
這個問題看起來提的很大，但其實看不到特別的意義，舉例說明：
有理數有統一形式p / q ，p, q 互素整數且q 不為0。那無理數呢？會不會也對應乙個統一形式？
有的，無限不迴圈小數。但是這個形式有沒有特別的意義呢？至少據我所知研究無理數都是通過有理數逼近，無限不迴圈很少用到。
其他回答也提到，經常通過研究線性變換來逼近非線性變換，至於非線性變換有沒有統一對應，可能並不是問題的關鍵。
2樓：
非線性變換依然對應矩陣，只不過這個矩陣不是常矩陣了，而是函式矩陣常矩陣將直線依然變成直線(旋轉伸縮)，但函式矩陣可以把一條直線變成任意的曲線
簡而言之，線性變換將平直的空間依然變成平直的(旋轉伸縮)，但非線性變換將平直的空間變成扭曲的空間了
例如：一維空間R上的線性變換都形如f(x)=ax，a是乙個常數（或看成1*1的常矩陣），那麼其他形式的都是非線性變換，但他們可以統一寫成f(x)=a(x)*x，（例f(x)=x^3是非線性變換，相應的a(x)=x^2),只要a(x)不是常值函式，則該變換就是非線性的。
3樓：
我們只能表示「是什麼」的東西，而不能表示「不是什麼」的東西。我們可以有泰勒展開，可以有圖表示，可以有愛因斯坦表示，但是它們表示的是具有某些性質的變換，而不是沒有某些性質的變換。
非線性這個詞唯一的意義就是告訴你這東西不是線性的，不能用線性代數解決，沒有其他任何資訊在裡面
4樓：靈劍
沒有通用的辦法，你可能聽說過的機器學習演算法如SVM、人工神經網路目的都是為了能描述乙個盡量泛用的非線性變換，它們也都沒有強大到能解決所有的問題。你要是能發明乙個能簡易通用低維度表示非線性變換的數學模型，我覺得把菲爾茲獎、圖靈獎、諾貝爾物理學獎、諾貝爾經濟學獎都拿一遍應該不過分。
5樓：Alepha E
對於非線性的問題可以用n次線性型之和來做表示。（就是俗稱的多項式展開——泰勒展開）(補充：一般是對於解析函式在區域性意義下的展開)
第一次回答關於「三次型」
先來考慮函式。對於非線性函式，在全域性意義下（全部原像上）是無法線性表示的，但是在區域性意義下卻可以。譬如 在 周圍可以表示成 。
這樣就具有線性性質了（後面關於 任意小可以看作是關於誤差的商空間）。
如果說，這個區域性再稍微大一點，還是 ，那麼就需要展開成 。也就是說多了乙個二次型。如果再繼續擴大作用域，就是不斷往上增加n次型。
問題問非線性變換是什麼？首先要明確，變換是同乙個空間上的對映。還是 ，將 上。所以 就是一維情形下的非線性變換，可以模擬一階矩陣。
二維就是 ，那麼相應的就有展開 對於n維同理。
對於多元的情形，會碰上個詞叫張量積。像Hessien矩陣，可以看作是兩個線性泛函做張量積的乙個線性表示。
先來看有限維的線性空間。
如果是一維的，一次型就是 ，二次型就是 ，三次型就是
對於多維的呢？
可以先從二維的情形入手。
一次型就是找乙個 上的乙個線性泛函 ，將 ，又將 ，矩陣表示出來就是：
對於二次型呢，再找個 ，做張量積 ，考察 四種基本形式
其中 於是 於是，矩陣表示就有 這就成了二次型.
對於三次型，那就再找乙個線性泛函做張量積，然後帶入三個向量就行了。即 顯然，沒辦法矩陣表示了（可以考慮「立方陣」，但是知乎編輯器就搞不出來）
同樣，對於更高維度的形式，目前還找不到比較直觀的表示方法。
那用多項式來表示如何？
一次型：
二次型 ：
三次型：
那麼，這個三次型是怎麼跟非線性變換沾邊的呢？
眾所周知，將微分視作變換，則其具有線性性質。因此，可將微分視作線性變換（其實可以在特定的函式基下找到對應的線性變換的，對於多項式基，即 ，微分正好是個Jordan塊）
然後， 偏導也同理（就是逮住一根「線」求微分，把其他「線」上的變數當成常數，）。將所有線上求得的偏導放到對應的線上，則有 維向量(假設對 求偏導)， 它呢，就是 上的關於 區域性的線性泛函。因為令 賦值，能有 而這個數值便是 在區域性的數值表示。
對於 上來說，求三次導就是單純求三次導。那麼對於 呢，怎麼和三次型掛鉤？
對於多元函式的展開來說，零次型就是個區域性常值，一次型就是剛才寫的，二次型就是Hessen矩陣，三次型就是對三次展開。
不妨先看二維情形，可以將 ，於是這就和前面說的對應起來了。二次型就有 三次依舊無法矩陣表示，那就用多項式來表述：
能發現，這個寫了一大坨。因為不能確保 是否是 階偏導連續，如果解析的話，那麼偏導就具有交換性了，一大坨的交叉項就可以合併了（這也可以看作是不可交換的乙個例子）。
不過要注意的一點是，求微分的時候，此時的向量空間是將原點建立在函式被展開的那一點的，所以要用 。
先簡單說這些，感覺關注人不是很多。。有問題再改吧~~
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