1樓：
我覺得punch line是 - expansion的用處在於定性研究重整化群（renormalization group, RG）的結構，- expansion本身是乙個微擾重整化群的方法。就拿Ising model為例，在滿足 對稱性的情況下，你可以在拉格朗日量裡面加偶數次方的項和梯度的項，比如， 。然後我們希望研究低能下的物理，即大尺度下的物理，可以用重整化群，不斷地積掉高能部分，得到低能的有效模型。
如果只看up to 二階項， ，這個理論有乙個Gaussian fixed point, 意思是在任何能量尺度下，都可以通過rescale場和能量動量，使得新理論和原來的理論一樣，沒有哪乙個coupling constant變得很小或者很大。（如果隨著能量降低，coupling constant變大稱這一項為relevant，反之為irrelevant，不變則叫marginal。relevant的項會帶你離開fixed point，marginal一般在高階修正下變成marginal irrelevant（通常是這個）或者marginal relevant（kondo, non-abelian gauge））
加上 項後，d=4時，這一項marginal，單圈修正下是marginal irrelevant，d>4 irrelevant，所以 時項都不會帶你離開Gaussian fixed point。但是d<4，該項變成relevant，relevant項會在RG下變得巨大，從而該模型跑出perturbative的範圍，就不能用RG來做了，但是既然從Gaussian fixed point跑出來，他總歸要去乙個地方，我們就很「創新大膽的」做d=4-的微擾，這也確實給出了Wilson-Fisher fixed point。
但是！當考慮更高階 的修正，級數變得不收斂，somehow可以用一些resummation的辦法來使級數變得有意義並且critical exponents算的也很準確。
感覺一般都是用- expansion作為乙個guide，類似的還有Large-N，都是perturbative RG的方法，可以很方便的sketch相圖，但更深刻的理解需要求助於其他場論模型。
這邊的一些說法完全是在statistical field theory的框架下（Euclidean spacetime），當然方法QFT也適用，但是維度不同有更深刻的影響，比如對稱性，anomaly之類的問題。比如QED3會有Chern simons term而4d的沒有
2樓：
既然費曼積分總可以延拓到任意非整數維。你總可以通過這種延拓定義非整數維場論。
費曼積分（歐式空間）
費曼引數化下的d維費曼積分
Baikov表示下的d維費曼積分
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