1樓：紙飛機
Goldstein. Classical Mechanics 上是用生成函式的方式去講述動量 與平移之間的聯絡, 但我總覺得這種講述方式十分不直觀. 利用經典力學的辛幾何表述可以獲得乙個更具有幾何直觀的理解.
也算是對 YorkYong 的一丟丟補充.
首先我們考慮辛空間 , 其上的任意乙個光滑的標量場 都可以利用辛形式 誘導出乙個向量場 .
特別的, 如果這個標量場是哈密頓量 的話, 那麼這個向量場也就是所謂的哈密頓相流, 向量場對應的積分曲線的方程, 就是我們一般說的哈密頓正則方程,系統的時間演化就是沿著這個向量場進行演化的. 當然這些都是老生常談, 接下來要說明動量 怎麼就和平移相關了.
為了簡單起見, 我們只考慮乙個1維系統, 即相空間是2維的. 首先, 我們令這個標量場為動量 , 那麼它所誘導出的向量場為
很容易驗證, 這個向量場處處與動量的座標基矢場(歐式)正交, 即 . 假如我們在相空間 中取座標系使得動量, 位置座標線歐式正交的話,那麼這個向量場 就是與位置的座標基矢場處處平行的. 或者說它的積分曲線就是座標的座標線.
由於乙個向量場對應乙個乙個單參微分同胚群, 因此向量場 就對應了乙個 的變換, 這個變換將所有的點沿著座標 的座標線方向進行平移 ( 例如, 朝 方向平移).
現在你就能看到, 動量是如何與群相聯絡的:動量標量場 , 通過辛形式 生成乙個向量場 , 這個向量場完全對應了乙個單微群, 這個群就是沿著 方向的平移群.
考慮三維問題時, 就會有6個標量場 , 代表三個位置座標和三個動量座標. 方便起見, 用矩陣形式把 明確地寫出來
其中 是 單位矩陣. 這個矩陣的意義很明確: 相空間每點的切空間 ( 或者餘切空間 ) 中能劃分出2個子空間, 分別是動量子空間 (由動量座標基矢張成), 和位置子空間( 由位置基矢張成 ).
而這個矩陣 的作用就是將動量子空間與位置子空間的元素交換. 換句話說, 動量子空間中的向量被作用之後, 就轉移到了位置子空間中. 在合適的座標系中, 動量子空間和位置子空間可以是歐式正交的.
於是位於動量子空間的元素 , 經過 作用後就到了位置子空間, 也就是說 , 是乙個點點位於位置子空間中的向量場. 在合適的座標系中, 恰好有: ,也就是說, 方向動量生成的向量場是沿著方向的, 因此方向的動量生成了方向的平移群群元.
至於這個動量是不是就是平移群的李代數, 就再有待考慮了, 暫時還沒想那麼多. 以上的敘述可能有許多不嚴謹之處 ( 比如關於動量子空間和位置子空間的描述 ), 是筆者水平所限, 望指正.
再補充一點點說明 與平移相關的東西. 從哈密頓正則方程可以得到
即相空間中哈密頓相流的切矢的動量分量, 表示的是動量在演化中的時間變化率. 在這裡我用了下角標 表明這個相流是由哈密頓量 生成的, 換句話說就是在哈密頓量為 時系統的演化. 這個演化路徑其實就是向量場 對應的路徑.
所謂的動量守恆, 也就是指 .這表示 是守恆量.
但是注意到, 泊松括號類似對易子, 既然 , 那麼自然的 也成立. 但是我們怎麼給後者賦予乙個物理意義呢? 很簡單,既然 對應了 生成相流的運動下 的變化率; 那麼很自然地, 就代表了 生成的"相流"的運動下, 哈密頓量 的變化率!
也就是說
下標 表明這個相流是由 生成的. 而所謂 的相流, 就是 向量場對應的相流, 也就是分割線前所提到的東西. 現在來看, 大概就知道了乙個標量場是如何生成乙個向量場的, 這個向量場又是如何對應了一種"變換"的 (在這裡則是平移變換).
更神奇的是, 剛才我們說, 動量守恆意味著
; 當然也同時能夠推出
而後者恰恰就意味著: 動量生成的平移變化下, 哈密頓量保持不變. 這就是系統具有平移對稱性的含義. 於是很自然地, 平移對稱性竟就這樣和動量守恆聯絡起來了.
2樓：蔡稽
最近在讀Sakurai，剛好可以來回答這個問題。
Sakurai裡面講平移變換的時候，引用了Goldstein的內容，指出在經典力學中，我們應該用正則變換母函式的概念來說明動量是平移的生成元這一事實。（詳情可以參考Goldstein第九章）
對正則變換 ， ， ，生成函式
則有 ， ，
現在考慮無窮小正則變換 ，
對這個變換乙個合適的生成函式是
所以 ，
比對就可以得到 ，
根據泊松括號定義不難寫出 ，
再考慮 ，生成函式 是哈密頓量，則
（ 表示所有正則變數）
這說明此正則變換使 時刻的座標和動量值變換到了 時刻的值，所以就有了哈密頓量是時間平移的生成元這個說法。
現在把考慮的座標換成一般力學量 ，無窮小正則變換下
對哈密頓量
故 這就說明守恆量是使哈密頓量保持不變的那些無窮小正則變換的生成函式。
對平移變換的情況，只需 ，即得
， ，即生成了平移變換，所以說（在經典力學中）動量是平移變換的生成元。
所以就會有Sakurai書上 就可以生成平移變換，
是恒等變換，配上虛數 再配好量綱就有平移算符
（似乎也能用 理解），故
就是我們常見的形式。
第一次寫回答，如果有錯誤，希望及時指正。
馬上就要考數理期末了，我在幹什麼呢 ╮(╯_╰)╭
3樓：YorkYoung
經典力學怎麼回事我比較疑惑，因為我理解的生成元就是乙個李群的表示誘導的李代數的表示，也就是說動量可以表示成空間平移群的表示的誘導表示，然而我並不知道經典力學中動量以某個李代數的表示出現的現象，可能泊松括號有點這個意思，但並不是空間平移群的伴隨表示。
經典力學中我唯一知道的把動量和空間平移聯絡的是諾特爾定理，但這也只是所空間平移不變和動量守恆等價，沒有說動量就是空間平移的生成元。
所以我只能解答量子力學裡面是為什麼。
考慮空間平移群的表示：
那麼根據無窮小生成元的定義：
其中I是恒等運算元，帶入表示式得：
也可以不用具體表象證明，定義空間平移群的表示滿足於是令 可得
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