1樓：凶狠的圖羅
題主說的密度均勻的圓柱體意思是想說強度均勻吧？
強度均勻的圓柱是不能靠重力做出這個曲線的。
題下還有人在認真的算，真是雷死我了。
2樓：下雨天晴
有個很好的方法就用偽剛體法，將模型等效替換為連桿-鉸鏈外加扭簧等模型。具體方法看Howell的柔順機構學。裡面有具體方法
3樓：
這個問題看似簡單，實際上比較複雜。
首先引入的假設題主已經給出：樹枝的密度均勻且是乙個圓柱體。
其次還需要引入的假設有答案已經給出：不計樹枝自重。
可以將樹枝視為 Euler-Bernoulli 梁，這是乙個經典問題，可以找到許多文獻。注意該理論忽略了泊松比對變形的影響。結論是，變形後的梁無法通過乙個簡單的解析表示式來描述。
撓度滿足的方程是個四階非線性常微分方程：
其中 EI 為彎曲剛度，A 為橫截面積，q(x) 為載荷集度。
可以將樹枝視為完全彈性體，使用有限變形的彈性理論來求解。這樣我們同時考慮了大轉動以及泊松比對變形的影響，一般只能通過數值方法求解。同樣，無法得到乙個簡單的解析表示式來描述變形後的梁。
4樓：崔耀東
懸鏈線假設作用力是沿線方向，而這裡模型應該是軟桿，作用力可以不沿線，所以直接答懸鏈線可能不對。佔坑明天想。
乙個有意思的想法：這個問題似乎和釣魚竿曲線很像。
5樓：蒼原雪
建立個座標系，y↑+，x→+；荔枝那裡（樹枝末端）x=0，y<0；彎曲的樹枝最高點 y=0 。
假設樹枝等粗，楊氏模量 E，截面二次軸矩 I 。荔枝重力 P 。
對每乙個 x 處一階小量 dx 對應的樹枝分析力矩分布，計算彎曲的角度 dθ，然後勾股定理找到 dθ 和 y(x) 的關係，驚訝地發現有很漂亮的 κ=Px/EI，κ 是曲率半徑（結果這麼好看嚴重懷疑我做麻煩了）。
然後不會算了，等我想想。
6樓：AfterPhilosophy
如果可以看作均勻材料大變形等截面懸臂梁，端部受集中荷載的話，記得解析式挺長的，用到了Frenet frame，可以嘗試用trial function 代入strain energy functional 作variation，相當於Riez method.
7樓：Boltzlinn
假如知道因為彎曲而帶來的彈性勢能的具體表示式，對整個系統能量變分大概能求出來。問題就在於不知道彈性勢能的表示式，猜測會正比於區域性曲率？
不過即使做了這樣的假設還是很難求…
8樓：阿辛
樹枝形狀粗細不均還算ok，經過測量，建模還是能實現的。主要是樹枝各點力學性質的非均質性比較難處理。不過可以將樹枝在長度上分段，通過對各段賦值不同的力學引數，擬合真實樹枝的彎曲程度。
不過考慮擬合的多解性，還得通過擬合不同邊界條件下的樹枝真實彎曲形態。不過這樣手工擬合極為費時費力。。。有機器演算法自動擬合就好啦。
9樓：yang yan
我覺得最大的難點在於樹枝的質量分布不均勻，不同位置力學性質不一致，想要得到完全準確的結果很困難。但是如果假設分布很均勻，對於一般的樹枝（長得好看的，沒有奇形怪狀）得到的結果與實際結果偏差應該不大，完全可以把假設下的理論推導和拍照擬合分別得到的曲線結果比較一下誤差。
10樓：胖胖小
我覺得是應該是懸鏈線，坐等大神打臉
後來想了想，應該是擺線。把那個荔枝放開，就是個擺啊等我有空了，列個微分方程算算，感覺應該有解析解這真是個好題目，簡直勾起了我學習材料力學的興趣
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