函式x 滿射問題？

1樓：Alucart

差不多明白題主什麼意思了。

題主的意思是有這樣乙個函式f：B→A (其中B=R，A=R) 滿足xx。

首先，明確一下，這個對映中的A不叫值域。它真正的名稱叫做陪域 (co-domain)。它可以理解為所有"可能"有函式值落在的點的集合。

舉個例子，我現在在乙個屋子裡，有一筐球，我想把它們扔出去。我這一筐球就可以看作是定義域，而理論上來講，這個房屋裡所有的點都可能被我扔到球，所以我可以把這乙個房屋裡所有的點取作陪域。當然，比方說我的力氣很小，只能扔2公尺，我也可以把我周邊半徑2公尺的圓取作陪域，總之，陪域是這樣乙個集合：

對映後的元素一定會落在這個集合中。很顯然經過題主提到的這個對映之後，所有元素都會落在實數系中，因此我可以取R為陪域。我也可以取[0 +∞)為陪域。

但是我不可以取Z＋為陪域 (因為0.5=0.25不在Z＋中)。

而值域 (記作f(B)) 指的B中所有元素經過對映後形成的象組成的集合。還是以上面扔球為例子，我這一筐球經過我不斷拋射之後，每個球都會落在乙個點，這些點組成的集合就是陪域。回到題主這個對映，xx的值域應該是f(B)=[0, +∞)。

接下來說說滿射的概念。滿射，又叫B映到A上的對映，指的是陪域和值域相同的對映。題主可以這樣理解：

陪域是所有可能有象的集合，而滿射就是象集把陪域覆蓋了 (也就是每個可能有象的點真的有象，這也是為什麼滿射也叫B映到A上的對映)。在題主的問題中，陪域A是實數集，而值域是[0, +∞)，很顯然值域沒有把陪域覆蓋 (負數就不在值域裡)，也由此可知題主的f不是滿射。

題主提到定義域，個人認為在判定函式是否是滿射的過程中更關注的還是陪域和值域的關係, 而非定義域和值域的關係。

需要說明的是，有的書不太關注陪域這個概念，比如我就見過一些微積分、線代教材幾乎不提陪域和滿射的概念，在介紹可逆對映時的條件也更弱，只要求對映是單射就可，取逆之後的定義域是原本函式的值域 (不是陪域)。