1樓：Triviality
如果這裡「可微」是光滑的意思的話：不可能。
設f把Rm對映到Rn，其中m小於n. 取Rm的子集X，使得f是X到Rn的雙射。由於是可微（光滑）雙射，導數必處處不為零。
根據反函式定理，f是區域性微分同胚。這是不可能的，因為Rn和Rm是維度不同的微分流形。
2樓：
對於 的滿射. 如果是 是連續可微即 的, 那麼根據微分中值定理, 在每個有界閉矩形上 都是 Lipschitz 的, 從而可以取嵌入 作為 的零測集. 令 定義在 上, 且相容 .
那麼 也是 Lipschitz 的. 然後
所以 是 的零測集. 從而 是 的零測集, 所以 不可能是滿射.
連續的話, 如果存在空間填充曲線 , 那麼稍微修改, 連線起點和終點定義連續滿射 使得 . 使用連續滿射 , 平移定義域, 連線 , 再令 取值停在起點. 得到連續滿射 然後用 得到連續滿射 .
對於單射, 見
There is no continuous injective function $f:\mathbb^n\longrightarrow\mathbb^m$
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