1樓：孟君
我的觀點是必須寫。
（不是說必須寫成分段函式。）
後面的C應該寫成C(x)的形式，表示在x大於和小於零時常數可以不相等。
或者像題主一樣寫成分段函式，乙個C1乙個C2。
根據定義嘛，隨便挑兩個常數構成乙個原函式，求導可知不影響結果是1/x。得證。
當然，不是有定理嗎？在無窮個開區間的並的集上有原函式，則各個開區間上常數可以不同。（慚愧慚愧，不證了）
這個書上沒講嗎？
2樓：啊啊
學了復變就知道了。
唯一正確的寫法是lnx+C，沒有絕對值，也沒有分段兩個c。
當然在實數範圍內，你的分段函式和ln|x|的正確性是一樣的。
3樓：
這是很多微積分教材寫得不是很清楚的地方。但由於在具體應用中不太緊要，也就沒引起什麼注意。
關鍵是，我們到底怎麼理解形如 的不定積分公式。
很多人都能注意到公式的右邊表示的不是乙個函式而是一族函式 。但很少有人會去注意這個等式隱去沒寫的東西；因為具體的應用常常並不受這個細節的影響。
我們從頭開始。
（定義）如果在區間上，可導函式 的導函式為 ，即對任一 有 ，那麼函式 就稱為 在區間上的乙個原函式。
（命題）如果 為 上的乙個區間，函式 有原函式 ，那麼給定任意常數 ，也是 在區間上的乙個原函式。
（命題）如果 為 上的乙個區間，函式 有原函式 和原函式 ，那麼存在常數 ，使得。
定義(1)中的「區間」可以換成任意 上的任意「開集」，從而(2)中的「區間」換成任意「開集」也成立。
但是，命題(3)中的「區間」不能換成任意「開集」；舉個簡單的例子：
考慮集合 ，以及函式 ， 在 上恒為 。定義集合S上的兩個函式 ，以及 。很明顯，對任意 ，有 。但是 和 卻沒有相差乙個常數。
4. （定義）如果函式 是 在區間上的乙個原函式，我們定義
。上面這個式子隱去沒寫的是 。 任何形如 的不定積分公式，都有乙個隱去沒寫的區間。(可以證明，實數集上的非空子集是連通當且僅當它是乙個區間。)
所以公式 的意思是在某個區間上成立。有的寫得比較仔細的分析教材會在這個公式上加個注：
4樓：何巨集健
你的觀察非常好。我給你提供一些思考的素材。
首先乙個函式可導的必要條件是連續觀察ln(|x|)這個函式的定義域是不包含0的。你可以先驗證一下這個函式是連續的。另外你也可以驗證一下你給的分段形式的函式同樣是連續的
第二個很好的思考方向是用微分的定義來驗證你所定義的分段函式的導數是1/x。這個可能你已經做過了如果沒做的話可以試一下。
最後你可以思考一下書上的公式和你給的公式有哪些區別。書上的公式是乙個偶函式你定義的公式更general 但是是不是所有的導函式為1/x的函式都必須是你所寫的分段函式的形式呢？你可以從1/x積分的角度來思考這個問題需要注意的是1/x在0處沒有定義並且它的積分不是有界的。
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