1樓：喵嗚大將軍
x『=1並不是特例，冪函式求導的規律就是x^n到nx^（n-1），所以x^1求導就應該是1*x^0，毫無異常
而x^0再求導就變成了0*x^（-1）=0，也沒有任何異常，唯一的問題是這裡的x^（-1）因為係數的問題就這麼消失了，導致這裡在一定程度的失去了連續性，但lnx的存在彌補了這一連續性，使得x^-1仍然可以被積分，這可能是唯一能夠稱得上「特例」的地方
一般認為這是十六億年前的一次數學戰爭中，某文明的一發微分飛彈擊中了函式空間中的某個特徵點導致的斷層，後來又被另乙個文明通過別的方式補上的原因，所以這裡會看起來有一點點和原來不一樣，只不過是修補的痕跡罷了，不必特別在意
2樓：本來今天有雨
應該是格局太小了的原因，導致問題提的不是很好，我沒有別的意思。
因為如果格局再小點，還可以問，為什麼二次函式這種非線性函式求導之後變成線性的了，是不是有點無聊。。。
3樓：
冪函式的微分代數不完備。
沒什麼，但是 ，卻不是 。
而 的積分是初等函式---對數 ，卻不再是冪函式，這就說它不是完備的。
這個結果稱為對數初等擴張(承認對數)，如果你不承認對數是初等函式，那麼 積分就不是"初等"的。
同理也有
這些都是對數初等擴張，完全在於我們是否承認對數函式類是初等的，另外，這表示他們積了後不再是冪函式的任何有限四則混合。
注意到，複數下：
一般不特別把反三角和三角特別作為一類擴張，畢竟在複數( )下他們都會相應轉換為指數或者對數。
有否冪函式的不定積分會出現指數？
關於這點我沒找到，一般會認為對數是指數函式的逆運算，從而有 ，並且有 。我想指數不會只是由有限的冪函式作為指數初等擴張產生的。我姑且認為在複數下，純粹的有理函式是 完備的。
這也即，有理函式不會出現指數，並且這些函式的(分母無與對數的極點不同的零點)積分或微分都是由冪函式或對數函式構成（基於代數基本原理）。但是一旦出現非整數冪，一切都搞不定，也許不是指數，而是更特別的非初等函式。
如 這不是 的，即它是非對數或代數擴張的積分，甚至就是非初等的。這也說明，這樣的函式不是 完備的，它積分後不再只是由冪函式和對數函式構成。
另外 這樣的積分也是非 的，甚至也是非初等的。
它表示所有極點與對數極點不同的有理函式，不能夠 完備。
這反映即使是引入了對數函式，依然有不完備的可能性在。我們的任何初等函式的導數都是 這個域上的，求導完美地完備，但積分不能完備(所有非初等積分都是初等函式的微分代數不完備性導致)。
關於微分代數有關參考
Liouville's theorem (differential algebra)
Risch algorithm - Wikipedia
Lists of integrals - Wikipedia
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