1樓：TravorLZH
@六院的靈猿 的回答已經非常全了，我們就不妨做一些推廣：
事實上，這個問題可以拓展為：
命題：，即n總是整除 關於h的離散Fourier變換。
證明：經過類似 @六院的靈猿 的變換，可得：
定義拉馬努金和 ，則原式變換為：
事實上，拉馬努金和滿足：
[1]並且 。因此，我們的命題變成了 ：
對於此類問題，我們要化整為零。假設n可以被分解為a、b兩個互素數，則：
這意味著 。因此我們只需要考慮證明最簡單的情況，即展開可得：
當r=w時：
其中最後一行可以參考 @六院的靈猿 的回答。
當r
由 可知：
而第二項可以被分解成
由於在a-h>1的情況下 ，我們僅選擇 的情況進行求和：
將第一項和第二項的結果回代至(a)式，可得：
2樓：
如果我沒記錯的話，羅馬尼亞大師盃曾經考過這道題。
但其實，這題是有群論的高等背景的。
首先我們看看 這個式子有什麼組合意義．
結論： 表示用 種顏色給乙個有 顆珠子的項鍊染色的方法數（旋轉後重合視為一種）。
我們可以用Burnside引理來證明.
Burnside引理（的乙個等價形式）設 是 上的乙個置換群，用 種顏色給 中的元素染色，則在 的作用下的染色方案數是 .其中 是將置換 分解成輪換乘積時所包含的輪換（包括一階）的個數.
這裡置換就是將項鍊旋轉的變換， 就表示旋轉 度.
因此 ， 這裡序號模 理解.
的輪換個數為 ，因為這就相當於去求模 的乙個剩餘類中最多能有多少個數兩兩模 不同餘.
由Burnside引理，有 中染色方法．
染色方法數一定是整數，所以就有 了.
組合做法雖然巧妙，但往往給人一種浮於表面的感覺，沒有觸及代數結構的本質.
所以我們也寫乙個數論的做法.
注意到，在 中很多相同的項，我們來個「物以類聚」,將它們整合在一起：
故 . 這是乙個Dirichlet卷積的結構，因此想到用積性來證明.
若 對任意正整數 成立，來證時成立 .
即 ，我們有
故 ，同理 .
接下來只要證明時成立，是質數.
下證 是 的倍數，即 .
有如下結論成立： .（這個可以CRT證）
有 ，因此成立.
不過若問到哪種方法更好的話——
我覺得都挺有意義的（
如何嚴密的證明下面的說法？
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